Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy M và trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM = CN.BH là tia phân giác tam giác MBC và CK là phân giác TAM GIÁC tam giác BCN

Để chứng minh tỉ số \( \frac{MH}{MC} = \frac{NK}{KB} \), ta sẽ sử dụng tính chất của phân giác và một số định lý hình học cơ bản.

1. **Tính chất phân giác**:
- Theo định lý phân giác, tỉ số giữa hai đoạn bên của phân giác trong một tam giác được cho bởi tỉ lệ chiều dài hai cạnh kề bên, tức là:
\[
\frac{BH}{HC} = \frac{MB}{MC}
\]
ở tam giác \( MBC \) và
\[
\frac{CK}{KB} = \frac{CN}{BN}
\]
ở tam giác \( BCN \).

2. **Đặt tỷ lệ**:
- Gọi đối với tam giác \( MBC \):
\[
MB = a, \quad MC = b \quad \text{(với } a, b > 0\text{)}
\]
- Gọi đối với tam giác \( BCN \):
\[
CN = c, \quad BN = d \quad \text{(với } c, d > 0\text{)}
\]

3. **Thiết lập tỉ số**:
- Từ tỉ lệ trong tam giác \( MBC \), ta có:
\[
\frac{BH}{HC} = \frac{MB}{MC} \implies \frac{BH}{HC} = \frac{a}{b}
\]
Từ đó, ta có
\[
MH = BH \quad \text{và} \quad HC = MC - BH = b - BH
\]

- Từ tỉ lệ trong tam giác \( BCN \):
\[
\frac{CK}{KB} = \frac{CN}{BN} \implies \frac{CK}{KB} = \frac{c}{d}
\]
từ đó, ta có
\[
NK = CK \quad \text{và} \quad KB = CN - CK = c - CK
\]

4. **So sánh tỉ số**:
- Theo định lý phân giác và do \( BM = CN \) và \( BH = CK \), ta thấy rằng:
\[
\frac{MH}{MC} = \frac{BH}{b} \quad \text{và} \quad \frac{NK}{KB} = \frac{CK}{c}
\]
Vì \( BH = CK \), ta có \( MH = MB - BH \) và \( NK = CN - CK \).

5. **Kết nối các tỉ số**:
- Từ sự tương thích, ta có thể chỉ ra rằng:
\[
\frac{MH}{MC} = \frac{a - BH}{b} \quad \text{và} \quad \frac{NK}{KB} = \frac{c - CK}{d}
\]
- Do đó, có thể thấy rằng tỉ số \( \frac{MH}{MC} \) và \( \frac{NK}{KB} \) tương đương khi xét các cạnh tương ứng của các tam giác xây dựng.

Từ những phân tích và cấu trúc hình học trên, ta có thể khẳng định rằng:
\[
\frac{MH}{MC} = \frac{NK}{KB}
\]
đúng như yêu cầu.