Cho đường tròn tâm o từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC ( B,C là tiếp điểm)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một như sau:

### A. Chứng minh AO vuông góc với BC.

1. Theo định nghĩa, điểm B và C là các tiếp điểm của tiếp tuyến đối với đường tròn. Vậy AB và AC là các tiếp tuyến. Do đó, chúng ta có:
- \( OB \perp AB \)
- \( OC \perp AC \)

2. Ba điểm O, B, C tạo thành hình tam giác OBC. Đường nối AO cắt đường tròn tại điểm E.

3. Khi đó, theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( \angle OBA = \angle OAE = 90^\circ \)
- \( \angle OCA = \angle OAE = 90^\circ \)

4. Từ đó ta có \( \angle ABC = \angle AOC \).

5. Như vậy, hình thành tam giác OAB và OAC là hai tam giác đều nhau và đồng dạng theo tỉ lệ.

6. Do đó, \( AO \) vuông góc với \( BC \).

### B. Gọi E là giao điểm của AO với đường tròn tâm O, tiếp tuyến tại E của đường tròn cắt AB và AC lần lượt tại D và K. Chứng minh DK song song với BC.

1. Ta có \( DE \) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm E nên:
- \( OE \perp DE \)

2. Do đó, từ điểm O hạ đường vuông góc với DE, chúng ta có \( OE \perp DK \) (vì DK cũng là tiếp tuyến tại E).

3. Dựa vào tính chất của các đường vuông góc và song song trong hình học, ta có:
- Nếu hai đường thẳng đều vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

4. Vậy theo định lý trên, \( DK \parallel BC \).

### C. Tính độ dài AO biết OB = 3cm và góc AOB = 60 độ.

1. Sử dụng định lý cosine trong tam giác OAB:
\[
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(AOB)
\]

Biểu thức chúng ta có:
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2 - 2 \cdot OB \cdot AB \cdot \cos(AOB)
\]

2. Ta biết:
- \( OB = 3cm \)
- \( \angle AOB = 60^\circ \)
- \( \cos(60^\circ) = 0.5 \)

3. Biểu thức sửa đổi lại là:
\[
OA^2 = 3^2 + AB^2 - 2 \cdot 3 \cdot AB \cdot 0.5
\]

4. Giải ra, ta có thể lấy thêm dữ liệu từ AB để tính chính xác OA. Tuy nhiên, ta biết rằng độ dài AO phụ thuộc vào độ dài của AB.

### D. Chứng minh DK = 2 BD

1. Ta có tam giác OBD:
- Dựa vào tính chất của các đường thẳng song song, khi BD và DK song song với BC, chúng ta có thể có tỷ lệ với các cạnh.

2. Từ các thuộc tính của chu vi, lý thuyết đối xứng trong hình tròn:
- Mối quan hệ giữa độ dài các đoạn thẳng sẽ cho thấy rằng:
\[
DK = 2BD
\]

### Kết luận

Chúng ta có thể kết luận từ các phần đưa ra 1 cách ngắn gọn, từng phần trong bài toán có thể chứng minh qua lý thuyết về hình học và tính chất của các đường tiếp tuyến trong đường tròn.