Để giải bài toán này, ta cần tìm thời gian \( t \) mà nước bơm vào đạt đến chiều cao \( \frac{3}{4} \) độ sâu của bể.

1. **Tính chiều cao nước bơm cần đạt được:**
\[
h = \frac{3}{4} \times 280 \, \text{cm} = 210 \, \text{cm}
\]

2. **Công thức cho chiều cao nước tại thời điểm \( t \):**
\[
h(t) = h(0) + \int_0^t \frac{1}{500} \sqrt{h(t')} \, dt'
\]
Với \( h(0) = 0 \) (bắt đầu từ 0 cm).

3. **Phương trình:**
Từ công thức trên, ta có:
\[
\frac{dh}{dt} = \frac{1}{500} \sqrt{h}
\]
Tách biến:
\[
\frac{dh}{\sqrt{h}} = \frac{1}{500} dt
\]
Tích phân hai vế:
\[
2\sqrt{h} = \frac{t}{500} + C
\]

Do \( h(0) = 0 \), ta có \( C = 0 \). Vậy:
\[
2\sqrt{h} = \frac{t}{500}
\]
Suy ra:
\[
\sqrt{h} = \frac{t}{1000}
\]
Bình phương hai vế:
\[
h = \frac{t^2}{1000000}
\]

4. **Giải phương trình \( h = 210 \):**
\[
210 = \frac{t^2}{1000000}
\]
\[
t^2 = 210 \times 1000000 = 210000000
\]
\[
t = \sqrt{210000000} \approx 144.22 \text{ giây}
\]

5. **Tính thời gian cần thiết:**
Thời gian \( t \approx 144.22 \) giây, tương đương khoảng:
\[
2 \text{ giây } 24 \text{ giây}.
\]

Tuy nhiên, độ chính xác còn phụ thuộc vào các phương pháp làm tròn.

Và cuối cùng, bạn có thể đối chiếu với các đáp án trong câu hỏi để chọn lựa lựa chọn chính xác nhất.