Cho tứ diện ABCD trên cạnh AD và BC lần lượt lấy M, N sao cho AM=3MD, BN=3NC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AD và BC

Để giải bài toán này, ta cần xác định các vectơ có liên quan và cách phân tích vectơ MN theo hai vectơ PQ và DC.

Gọi các điểm A, B, C, D trong không gian với các tọa độ như sau:

- A = (0, 0, 0)
- D = (1, 0, 0)
- B = (0, 1, 0)
- C = (0, 0, 1)

1. **Tìm tọa độ của các điểm M và N**:
- Điểm M trên cạnh AD chia AD theo tỉ lệ AM : MD = 3 : 1. Do đó, tọa độ M là:
\[
M = \frac{3D + A}{3 + 1} = \frac{3(1, 0, 0) + (0, 0, 0)}{4} = \left(\frac{3}{4}, 0, 0\right)
\]
- Điểm N trên cạnh BC chia BC theo tỉ lệ BN : NC = 3 : 1. Do đó, tọa độ N là:
\[
N = \frac{3C + B}{3 + 1} = \frac{3(0, 0, 1) + (0, 1, 0)}{4} = \left(0, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)
\]

2. **Tính tọa độ của các điểm P và Q**:
- Điểm P là trung điểm của AD, nên tọa độ P là:
\[
P = \frac{A + D}{2} = \frac{(0, 0, 0) + (1, 0, 0)}{2} = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)
\]
- Điểm Q là trung điểm của BC, nên tọa độ Q là:
\[
Q = \frac{B + C}{2} = \frac{(0, 1, 0) + (0, 0, 1)}{2} = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]

3. **Tính các vectơ**:
- Tính vectơ MN:
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = \left(0, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right) - \left(\frac{3}{4}, 0, 0\right) = \left(-\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)
\]
- Tính vectơ PQ:
\[
\overrightarrow{PQ} = Q - P = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]
- Tính vectơ DC:
\[
\overrightarrow{DC} = C - D = \left(0, 0, 1\right) - \left(1, 0, 0\right) = \left(-1, 0, 1\right)
\]

4. **Phân tích vectơ MN theo vectơ PQ và DC**:
\[
\overrightarrow{MN} = a \cdot \overrightarrow{PQ} + b \cdot \overrightarrow{DC}
\]
Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm a và b sao cho:
\[
\left(-\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right) = a \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) + b \left(-1, 0, 1\right)
\]

Phương trình này tương ứng với ba phương trình:
1. \(-\frac{3}{4} = -\frac{a}{2} - b\)
2. \(\frac{1}{4} = \frac{a}{2}\)
3. \(\frac{3}{4} = \frac{a}{2} + b\)

Từ phương trình 2, ta tìm được:
\[
a = \frac{1}{2} \, ( \text{vì } \frac{1}{4} \times 2 = a )
\]

Thay \(a\) vào phương trình 1:
\[
-\frac{3}{4} = -\frac{1}{4} - b \implies b = -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

5. **Tính a + 2b**:
\[
a + 2b = \frac{1}{2} + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy \(a + 2b = -\frac{1}{2}\).