Để chứng minh các kết quả đã nêu, đầu tiên chúng ta sẽ mô tả một cách hình họa và sau đó thực hiện chứng minh từng bước.

### Hình vẽ

1. Vẽ tam giác cân ABC với A là đỉnh và BC là đáy.
2. Xác định I là trung điểm của BC (tức là BI = IC).
3. Trên tia BC, lấy điểm N sao cho chiều dài CN = BM, với M là điểm trên tia CB.

Bây giờ ta tiến hành chứng minh các kết quả:

### a) Chứng minh ABI = ACI và AI là tia phân giác của góc BAC

- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AB = AC.
- I là trung điểm của BC, nên BI = CI.
- Theo định lý tam giác, ta có:
\[
AB^2 = AI^2 + BI^2
\]
\[
AC^2 = AI^2 + CI^2
\]
- Từ BI = CI, suy ra AB^2 = AC^2, và từ đó suy ra góc ABI = góc ACI (do định lý cosin trong tam giác mở rộng).
- Do đó, AI là tia phân giác của góc BAC.

### b) Chứng minh AM = AN

- Theo giả thiết, ta có CN = BM.
- Để tính AM và AN, ta phân tích như sau:
- Có hai tam giác AMD và ANC đồng dạng với nhau nhờ vào góc A chung và các cạnh đối tương ứng BM và CN.
- Vì BM = CN nên AM = AN.

### c) Chứng minh AI vuông góc BC

- Ta gọi D là điểm trên BC sao cho AI vuông góc với BC.
- Theo chứng minh ở a, ta thấy AI chia góc BAC thành hai phần bằng nhau, do đó AI sẽ là đường cao trong tam giác ABC.
- Do đó, AI vuông góc với BC.

### d) Chứng minh AI là đường trung trực của MN

- Gọi H là trung điểm của MN.
- Vì AI là tia phân giác, và đã được chứng minh là vuông góc với BC, bằng lý thuyết hình học, AI cũng sẽ là đường trung trực của đoạn MN.
- Đường trung trị của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn đó và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Với các chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh được các tính chất của các đoạn thẳng và các góc trong tam giác ABC với các điểm M và N như đã yêu cầu.