Chúng ta sẽ giải bài toán từ hình học mà bạn đã cung cấp.

**Bài 1**

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.

a) Chứng minh: Tứ giác BMCD là hình bình hành.

- Ta có AM = MB (vì M là trung điểm của AB).
- Tương tự, AN = NC (vì N là trung điểm của AC).
- Do đó, ta có BM // AC và CD // AB (đều vuông góc với AB và AC tại A).
- Từ đó, tứ giác BMCD có hai cặp cạnh đối diện vừa song song, vừa bằng nhau, suy ra BMCD là hình bình hành.

b) Tứ giác AMDC là hình gì? Vì sao?

- Tứ giác AMDC có AM = MD (vì M là trung điểm) và AD là cạnh huyền trong tam giác vuông AMC (ABC vuông tại A).
- Do đó, AMDC là hình thoi, hoặc có thể nói là tứ giác AMDC là một hình bình hành (tất cả các hình thoi đều là hình bình hành).

---

**Bài 2**

Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD.

a) Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành.

- Ta có AE // CD và CF // AB (do AB, CD là hai cạnh đối diện của hình bình hành).
- Hơn nữa, AE = CF (bằng cách tính toán với tỷ lệ 2:1 trong hình bình hành).
- Do đó, tứ giác AECF có hai cặp cạnh đối diện vừa song song, vừa bằng nhau, suy ra AECF là hình bình hành.

b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

- Tứ giác AEFD có AF // DE và AD = EF (do AEFD dựa trên AB và DC).
- Từ đó, tứ giác AEFD cũng là hình bình hành (tương tự lý do như trên).

c) Chứng minh rằng tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

- Để chứng minh, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện đều bằng nhau và một trong các góc là 90 độ.
- Do khi E, F, I, K được chọn liên tục trong hình chữ nhật, ta có EF // IK và EI // FK.
- Ngoài ra, các góc tạo thành sẽ là 90 độ, do đó chứng minh rằng EIFK là hình chữ nhật.

d) Tìm điều kiện để hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông.

- Tứ giác EIFK là hình vuông nếu và chỉ nếu tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng 90 độ.
- Điều kiện cần thiết là độ dài các cạnh của ABCD cần phải để cho EF = EI = FK = IK.

Hy vọng các hướng dẫn này giúp bạn giải quyết bài tập!