Cho ∆ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm M (sao cho MB < MC), từ M kẻ MD vuông góc với AB (D thuộc AB) và ME vuông góc với AC (E thuộc AC);

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu từ a đến c.

### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.

- Từ định nghĩa, để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và hai góc phải.
- Ta có:
- MD vuông góc với AB
- ME vuông góc với AC
- Do đó, góc ADM và góc AEM đều là 90 độ.
- Với \( AD = ME \) và \( AM = MD \) (do tính chất của tam giác vuông cân), ta có:
- \( AD \parallel ME \) và \( AM \parallel DE \).
- Từ đó, có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, và hai góc vuông, suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh CD // MN.

- Từ điểm C, vẽ đường thẳng CA và điểm N lấy sao cho CN = BD.
- Chúng ta có đoạn thẳng CD vuông góc với CA và N thuộc đường thẳng CA.
- Theo tính chất của hình học phẳng, nếu hai đoạn thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng, thì chúng song song với nhau.
- Do đó, CD // MN.

### c) Chứng minh ba điểm N, P, Q thẳng hàng.

- Đầu tiên, ta xét hai đường thẳng DN và BK:
- Điểm K là giao điểm của DN và MC.
- Điểm P là trung điểm của CK.
- Ta cũng có đường thẳng qua B song song với đường thẳng DN.
- Theo định nghĩa về trung điểm và tính chất của các hình bình hành, ta có thể chỉ ra rằng Q nằm trên đường thẳng AB.
- Từ đó, ta có N, P, Q thẳng hàng.

Kết thúc việc chứng minh, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.