Cho đường tròn(O;R), đường kính AB. Từ A kẻ tiếp tuyến Ax. Lấy điểm M trên Ax (M khác A). Từ M dựng tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn, cắt đường tròn tại N. Chứng minh 4 điểm A,M,N,O cùng thuộc đường tròn

Để chứng minh bốn điểm A, M, N, O cùng thuộc một đường tròn, ta bắt đầu khái quát hóa và sử dụng một số thuộc tính hình học.

1. **Vị trí các điểm**:
- Chúng ta có đường tròn (O; R) với đường kính AB. Ta biết rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- Đường tiếp tuyến Ax được kẻ từ A tới đường tròn. Theo định nghĩa tiếp tuyến, nó sẽ vuông góc với bán kính tại điểm A (tức là OA vuông góc với Ax).
- M là điểm trên Ax (M khác A) và từ M ta muốn dựng tiếp tuyến thứ hai tới đường tròn tại điểm N.

2. **Tính chất của tiếp tuyến và độ dài**:
- Theo định lý, các đoạn từ điểm M tới hai điểm tiếp xúc trên đường tròn đều có độ dài bằng nhau. Gọi đoạn MN là đoạn tiếp tuyến từ M đến N (đoạn MN là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm N).
- Do đó, ta có MN vuông góc với ON (ON là bán kính đường tròn tại điểm N).

3. **Chứng minh các điểm và tính chất hình học**:
- Xét tam giác OAN:
- OA vuông góc với Ax (OA ⊥ Ax, A thuộc đường tròn).
- MN vuông góc với ON (bởi MN là tiếp tuyến tại N).
- Khi đó, ta có ∠OAM = 90° (bởi vì AO vuông góc với tiếp tuyến tại A).

4. **Điều cần chứng minh**:
- Ta sẽ chứng minh rằng bốn điểm A, M, N, O đều thuộc cùng một đường tròn. Cách tốt nhất là kiểm tra góc đa giác:
- Chúng ta có thể sử dụng góc bù và tính chất tứ giác: Khi M di chuyển trên tiếp tuyến Ax, góc ∠AMN chính là góc giữa tiếp tuyến và dây MN, và do có tính chất tam giác và vuông góc, ta có:
- ∠AMN + ∠AON = 180°.
- Bởi vì tổng hai góc đối diện của tứ giác (A, M, N, O) là 180 độ, tứ giác AMNO nội tiếp được cho nên A, M, N, O cùng thuộc một đường tròn.

Vậy từ những lý thuyết hình học và các tính chất đã sử dụng, ta có thể kết luận rằng bốn điểm A, M, N, O cùng nằm trên một đường tròn.