Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P < 0 \), chúng ta có thể bắt đầu với biểu thức đã cho:

\[
P = \left( \frac{\sqrt{x} - x + 2}{\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} - 4} \right)
\]

### Rút gọn biểu thức:

1. **Nhân các tử với nhau**:
\[
P = \frac{(\sqrt{x} - x + 2) \cdot \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 4)}
\]

2. **Rút gọn tử số**:
- Tử số: \(\sqrt{x} - x + 2 = - (x - \sqrt{x} + 2) = - (x - 2 - \sqrt{x})\)
- Tìm nghiệm phương trình \( x - 2 - \sqrt{x} = 0 \).

3. **Đặt \( t = \sqrt{x} \):
\[
t^2 - t - 2 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies t_1 = 2, t_2 = -1
\]

4. **Chọn \( t \) dương**:
\( t = 2 \) và \( x = 4 \).

### Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P < 0 \):

1. **Tìm điều kiện bất phương trình \(\sqrt{x} - x + 2 < 0 \)**:
- Xét \( x = 4 \): \(\sqrt{4} - 4 + 2 = 0\).

2. **Xét khoảng**:
\[
x < 4 \implies \sqrt{x} - x + 2 > 0 \quad \text{(vì bề ngoài)}
\]
\[
x > 4 \implies \sqrt{x} - x + 2 < 0
\]

### Kết luận:

- \( P < 0 \) khi \( x > 4 \).
- Biểu thức đã rút gọn, bạn có thể trình bày lại theo cách mà bạn thích.