Chúng ta có hệ thức:

\[
x = y = z
\]

và

\[
(x+y)(y+z)(z+x) = 1
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng từ giả thiết này suy ra \(x = y = z\).

### Bước 1: Xét biểu thức \((x+y)(y+z)(z+x)\)

Giả sử mỗi biến là một số dương (không âm), ta có:

- \(x+y = a\)
- \(y+z = b\)
- \(z+x = c\)

Từ đó có:
\[
(x+y)(y+z)(z+x) = abc = 1
\]

### Bước 2: Dùng giả thiết \(x = y = z\)

Giả sử rằng \(x = y = z = k\). Khi đó:

\[
x+y = k+k = 2k
\]
\[
y+z = k+k = 2k
\]
\[
z+x = k+k = 2k
\]

Thay vào biểu thức \( (x+y)(y+z)(z+x) \):

\[
(2k)(2k)(2k) = 8k^3
\]

### Bước 3: So sánh với điều kiện

Ta biết rằng:

\[
8k^3 = 1 \implies k^3 = \frac{1}{8} \implies k = \frac{1}{2}
\]

### Bước 4: Kết luận

Đặt:

\[
x = y = z = \frac{1}{2}
\]

Từ kết quả trên, ta thấy rằng mọi \(x\), \(y\), \(z\) đều bằng nhau và đều bằng \(\frac{1}{2}\).

### Kết quả

Vì vậy, từ giả thiết \(x = y = z\) dẫn đến \(x = y = z = \frac{1}{2}\), chứng minh rằng:

\[
x = y = z
\]

do đó chứng minh hoàn tất.