Để giải hệ phương trình \( \frac{x+y}{17} = \frac{x-2y}{5} = \frac{xy}{26} \), ta đặt cả ba biểu thức bằng một đại lượng \( k \):

\[
\frac{x+y}{17} = k \implies x+y = 17k
\]
\[
\frac{x-2y}{5} = k \implies x-2y = 5k
\]
\[
\frac{xy}{26} = k \implies xy = 26k
\]

Bây giờ ta có ba phương trình:

1. \( x + y = 17k \) (1)
2. \( x - 2y = 5k \) (2)
3. \( xy = 26k \) (3)

### Bước 1: Giải hệ phương trình từ (1) và (2)
Từ phương trình (1), ta có:

\[
x = 17k - y \quad (4)
\]

Thay (4) vào (2):

\[
(17k - y) - 2y = 5k
\]
\[
17k - 3y = 5k
\]
\[
12k = 3y \implies y = 4k
\]

### Bước 2: Thay y vào (4) để tìm x
Thay \( y = 4k \) vào (4):

\[
x = 17k - 4k = 13k
\]

### Bước 3: Thay x và y vào (3) để tìm k
Thay \( x = 13k \) và \( y = 4k \) vào (3):

\[
(13k)(4k) = 26k
\]
\[
52k^2 = 26k
\]
\[
52k^2 - 26k = 0
\]
\[
26k(2k - 1) = 0
\]

Điều này dẫn đến hai trường hợp:

1. \( k = 0 \) (không có nghiệm hợp lệ trong trường hợp này)
2. \( 2k - 1 = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2} \)

### Bước 4: Tính x và y
Thay \( k = \frac{1}{2} \) vào \( x \) và \( y \):

\[
x = 13k = 13 \times \frac{1}{2} = \frac{13}{2}
\]
\[
y = 4k = 4 \times \frac{1}{2} = 2
\]

### Kết quả
Giá trị của \( x \) và \( y \) là:

\[
x = \frac{13}{2}, \quad y = 2
\]

Do đó, nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = \left(\frac{13}{2}, 2\right) \).