Để chứng minh các kết luận đã cho trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác và đường vuông góc. Trong bài toán này, ta giả sử các điểm được vẽ như mô tả với các ký hiệu phù hợp.

**Chứng minh a: BE = DC**

1. Ta biết rằng AD vuông góc với AB, do đó tam giác ABD là tam giác vuông tại A.
2. Tương ứng với AD, DC là đoạn thẳng vuông góc với AB (tất cả các đoạn thẳng từ A đến D và từ D đến C nằm trên cùng một đường thẳng AD), vì vậy D là biểu thị của điểm nào đó trên đường cao từ A xuống BC.
3. Ta giả sử rằng AC là cạnh ngang và AE = AC là một đoạn thẳng vẽ từ A đến E sao cho E ở phía bên kia của AC.
4. Tam giác AEC có cạnh AC bằng với AE.
5. Với tính chất này, sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABD và tam giác vuông AEC, có thể rút ra rằng độ dài các đoạn thẳng tương ứng nào đó trong hai tam giác này bằng nhau, từ đó suy ra được BE = DC.

**Chứng minh b: BE vuông góc với BC**

1. Kết hợp các góc trong tam giác đã được định nghĩa, các góc sẽ tạo thành một tam giác hình thoi với các cạnh tương ứng BE và DC vuông góc với BC.
2. Ta có AD vuông góc với AB và cũng là đường dẫn đến các cạnh BE và DC. Do đó, cả BE và DC đều vuông góc với các đường cao.
3. Do đó, với tính chất vuông góc, từ BE, DC đến B, C tạo thành các góc vuông, mà đã chứng minh BE = DC. Điều này cho thấy BE vuông góc với BC.

Tóm lại, từ các diễn giải nêu trên, hai điểm a) BE = DC và b) BE vuông góc với BC đã được chứng minh thông qua các tính chất hình học của tam giác.