Để chứng minh rằng \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) thì cần chứng minh hai biểu thức:

### A. \( \frac{a}{c} = \frac{a+b}{c+d} \)

Giả sử rằng \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), điều này có nghĩa là:

\[
ad = bc
\]

Trong biểu thức \( \frac{a}{c} = \frac{a+b}{c+d} \), chúng ta sẽ nhân chéo:

\[
a(c+d) = c(a+b)
\]

Mở rộng cả hai bên, ta có:

\[
ac + ad = ac + bc
\]

Tiến hành rút gọn, ta có:

\[
ad = bc
\]

Vì vậy, \( \frac{a}{c} = \frac{a+b}{c+d} \) là đúng.

### B. \( \frac{b}{d} = \frac{a-b}{c-d} \)

Tương tự, ta cũng cần chứng minh rằng:

\[
\frac{b}{d} = \frac{a-b}{c-d}
\]

Lại từ giả thiết \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), tức là \( ad = bc \).

Bây giờ, xét biểu thức:

\[
b(d) = (a-b)(\frac{d}{c})
\]

Nhân chéo lại:

\[
bd = (a-b)c
\]

Mở ra, ta có:

\[
bd = ac - bc
\]

Biến đổi ta nhận được:

\[
bd + bc = ac
\]

Nhưng từ \( ad = bc \), ta thay vào:

\[
b(d + c) = ac
\]

Để đi đến kết luận, chúng ta nhận thấy rằng nếu \( \frac{b}{d} = \frac{a-b}{c-d} \) thì cũng dẫn đến \( b(c-d) = d(a-b) \), tức là:

\[
bc - bd = ad - bd
\]

Cũng đưa đến \( bc = ad \).

Vậy từ cả hai biểu thức trên, ta có thể kết luận rằng:

1. \( \frac{a}{c} = \frac{a+b}{c+d} \)
2. \( \frac{b}{d} = \frac{a-b}{c-d} \)

Như vậy, kết luận cho bài toán là đúng.