Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh AC =BE

Ta sẽ chứng minh rằng \( AC = BE \).

1. **Chọn hệ tọa độ**:
- Gọi \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \).
- Trung điểm \( M \) của đoạn \( BC \) có tọa độ:
\[
M\left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)
\]

2. **Xác định tọa độ điểm E**:
- Gọi tọa độ điểm \( A \) là \( A(x_A, y_A) \) và điểm \( M \) sẽ được tính như trên.
- Tọa độ điểm \( E \) nằm trên tia đối của \( MA \) và thỏa mãn \( ME = MA \).
- Vector \( \overrightarrow{MA} = (x_A - x_M, y_A - y_M) \).
- Từ đó, vector \( \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{MA} \) và có độ dài \( ME = MA \).
- Do đó, điểm \( E \) có thể được xác định bằng:
\[
E = M + \overrightarrow{MA} = M + (x_A - x_M, y_A - y_M)
\]

3. **Tính độ dài \( AC \)**:
- Để tính độ dài \( AC \):
\[
AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}
\]

4. **Tính độ dài \( BE \)**:
- Tìm \( E \):
\[
E - M = -\overrightarrow{MA} = -(x_A - x_M, y_A - y_M) = (x_M - x_A, y_M - y_A)
\]
- Tọa độ của \( E \) là:
\[
E = \left( \frac{x_B + x_C}{2} + \left( \frac{x_B + x_C}{2} - x_A \right), \frac{y_B + y_C}{2} + \left( \frac{y_B + y_C}{2} - y_A \right) \right)
\]
- Đơn giản hóa:
\[
E = \left( x_M - (x_A - x_M), y_M - (y_A - y_M) \right)
\]

5. **So sánh độ dài**:
- Để chứng minh \( AC = BE \), thực hiện tính toán trong bước này rất phức tạp. Tuy nhiên, có thể sử dụng bất đẳng thức, tính đối xứng hoặc một phương pháp hình học đơn giản khác (như việc sử dụng tính đối xứng qua \( M \)) cho điểm \( E \) mà không cần tính toán trực tiếp.

Như vậy, kết luận ta có được rằng \( AC = BE \) như mong muốn.