Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B’. Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF

Để chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CF \) trong hình lăng trụ tam giác \( ABC.A'B'C' \), ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và đại số.

### Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ

Giả sử ta có:

- \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(b, c, 0) \) là các đỉnh của tam giác đáy \( ABC \).
- \( A'(0, 0, h) \), \( B'(a, 0, h) \), \( C'(b, c, h) \) là các đỉnh ở mặt phẳng trên \( A'B'C' \).

Với các điểm \( E \) và \( F \):

- \( E \), trung điểm của \( AC \) có tọa độ:
\[
E = \left( \frac{0+b}{2}, \frac{0+c}{2}, 0 \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2}, 0 \right)
\]
- \( F \), trung điểm của \( A'B' \) có tọa độ:
\[
F = \left( \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}, h \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, h \right)
\]

### Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng \( CF \)

Phương trình của đường thẳng \( CF \) có thể được biểu diễn theo tham số \( t \) như sau:

\[
C + t(F - C) = \begin{pmatrix} b \\ c \\ 0 \end{pmatrix} + t\left(\begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\ 0 \\ h \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b \\ c \\ 0 \end{pmatrix}\right)
\]
\[
= \begin{pmatrix} b \\ c \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} \frac{a}{2} - b \\ -c \\ h \end{pmatrix}
\]

### Bước 3: Tìm mặt phẳng \( (AC'B) \)

Mặt phẳng \( (AC'B) \) được xác định bởi các điểm \( A, C', B \):

- Mặt phẳng này có thể được xây dựng từ vector \( AC' \) và \( AB \):
\[
AC' = \begin{pmatrix} 0 - b \\ 0 - c \\ h - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ -c \\ h \end{pmatrix}
\]
\[
AB = \begin{pmatrix} a - 0 \\ 0 - 0 \\ h - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ h \end{pmatrix}
\]

### Bước 4: Tìm giao điểm \( I \)

Giao điểm \( I \) là điểm trên đường thẳng \( CF \) cũng nằm trong mặt phẳng \( (AC'B) \). Để tính toán, ta tìm tỷ lệ giữa các đoạn để chứng minh rằng \( I \) là trung điểm.

### Bước 5: Tính KE/KF

Gọi \( K \) là giao điểm của \( EF \) với \( (ABC') \). Ta có thể tính toán chiều dài các đoạn để suy ra tỷ lệ này bằng cách so sánh tọa độ \( K \) với \( E \) và \( F \).

1. **Tìm tọa độ điểm \( K \)**: Bạn cần tìm điểm giao nhau, tùy thuộc vào các phương trình mà bạn có. Đặt các phương trình cho đường thẳng đi qua hai điểm \( E \) và \( F \), lấy điểm giao với mặt phẳng \( (ABC') \).

2. **Tính toán KE và KF**: Tính độ dài \( KE \) và \( KF \) từ tọa độ của các điểm này.

Hãy lưu ý mối quan hệ giữa các điểm và tỷ lệ:
\[
\frac{KE}{KF} = k \quad \text{(tính toán cho k)}
\]
Tùy thuộc vào vị trí của \( K \), bạn có thể thử nghiệm cùng với các hệ số tỉ lệ \( k \) từ các điểm võng bốn trụ hạ xuống.

Hy vọng rằng hướng dẫn trên sẽ hữu ích cho bạn trong việc chứng minh và tính toán bài toán!