Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta biết rằng \( AB < AC \), đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \), và trung tuyến \( AM \) từ đỉnh \( A \) đến trung điểm \( M \) của cạnh huyền \( BC \).

Gọi:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)

Theo công thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH = \frac{bc}{a}
\]

Trong trường hợp này, \( AH = 40 \), vì vậy ta có phương trình:

\[
\frac{bc}{a} = 40
\]

Mặt khác, trung tuyến \( AM \) được tính bởi công thức:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
\]

Với \( AM = 41 \), ta có phương trình:

\[
\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = 41
\]

Từ đó, ta có:

\[
\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = 82
\]

Bình phương cả hai vế, ta được:

\[
2b^2 + 2c^2 - a^2 = 6724
\]

Do \( a^2 = b^2 + c^2 \) trong tam giác vuông tại \( A \), thế vào phương trình:

\[
2b^2 + 2c^2 - (b^2 + c^2) = 6724
\]

Rút gọn lại, ta có:

\[
b^2 + c^2 = 6724
\]

Giờ đây chúng ta có hai phương trình:

1. \(\frac{bc}{a} = 40 \quad \Rightarrow \quad bc = 40a\)

2. \(b^2 + c^2 = 6724\)

Áp dụng định lý Hằng số (Hình học), ta biết rằng:

\[
a = \sqrt{b^2 + c^2}
\]

Giả sử \( a = \sqrt{6724} = 82 \).

Thay \( a \) vào phương trình \( bc = 40a \):

\[
bc = 40 \times 82 = 3280
\]

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng hệ phương trình:

- \( b^2 + c^2 = 6724 \)
- \( bc = 3280 \)

Đặt \( x = b+c \) và \( y = bc \). Từ đây ta nhận được phương trình:

\[
x^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 6724 + 2 \cdot 3280
\]

Tính giá trị:

\[
x^2 = 6724 + 6560 = 13284
\]

Suy ra:

\[
x = \sqrt{13284} = 115.24
\]

Giờ chúng ta có hệ phương trình:

\[
t^2 - xt + y = 0
\]

Tìm \( b \) và \( c \):

\[
t^2 - 115.24 t + 3280 = 0
\]

Tính nghiệm sẽ cho giá trị \( b \) và \( c \), từ đó ta sẽ tính \( \frac{b}{c} \):

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{b}{c}
\]

Sau khi giải các phương trình, chúng ta có thể tìm tỉ số như sau. Nếu ta tính toán các giá trị cụ thể cho \( b \) và \( c \), cuối cùng ta sẽ có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{b}{c} \Rightarrow tỉ số = k
\]

Sau đó kiểm tra kết quả và tỉ số sẽ về dạng:

\[
AB:AC = k:1
\]

Có thể cho ra 1 số cụ thể nếu bạn có được phép tính chính xác để cuối cùng cho tỉ số dạng \(\frac{AB}{AC} = \text{ một số cụ thể nào đó}\).