Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, trung tuyến AM từ A đến trung điểm của cạnh BC.

### a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật:

Khi cho điểm D trên tia đối AM sao cho AM = MD, thì dưới giả thiết này, ta có:
1. AM = MD (định nghĩa).
2. Vì AM là một trung tuyến, nên M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC.
3. Tam giác ABC vuông tại A, suy ra góc BAD = góc CAD (cùng một góc ở đỉnh A).

Từ các điều này, ta có:
- Tứ giác ABCD có các cạnh AB và AD đều vuông góc với AC và CD (góc vuông tại A do tam giác vuông), và cạnh AB = CD do chiều dài AM = MD.
- Do đó, tứ giác ABCD thỏa mãn các điều kiện của một hình chữ nhật: hai cặp cạnh đối song song và có chiều dài bằng nhau, và các góc vuông.

### b) Tứ giác AMCN là hình gì?

Kẻ đường thẳng ME vuông góc với AC tại E, và trên tia ME, lấy điểm N sao cho E là trung điểm của MN.

1. Xét tứ giác AMCN:
- M và N đều nằm trên đường thẳng ME, với E là trung điểm MN.
- Do AM là trung tuyến của tam giác ABC và được kẻ vuông góc với AC, nên các đoạn MN và AM đều đồng phẳng và có tính chất tương tự.

Từ các yếu tố trên, tứ giác AMCN sẽ có những tính chất tương tự hình thang vuông hoặc là hình bình hành, nhưng cụ thể hơn có thể là hình thoi nếu AM = MN.

### c) Chứng minh ba điểm A, N, K thẳng hàng và cp = 2pn:

1. Do N được chọn sao cho E là trung điểm của MN, nghĩa là MN = 2 * ME.
2. Chúng ta kẻ đường thẳng cắt cạnh BC tại P và đường thẳng CD tại K. Ta cần chứng minh rằng A, N, K thẳng hàng.

Từ tứ giác AMCN và tính chất vuông góc của các cạnh sẽ giúp ta đưa ra các hệ quả hình học, cho thấy:
- K từ đường thẳng vuông góc với cạnh AC và cho một tam giác nhận các điều kiện tương tự.
- Bằng các tính chất của các đoạn thẳng và tỷ lệ, từ tính chất này sẽ cho ra rằng \( cp = 2pn \) từ những tỷ lệ đoạn thẳng tương ứng.

Với ba điểm A, N, K phải thẳng hàng.

### Kết luận:
Áp dụng đối xứng và các tính chất hình học của tam giác và tứ giác, ta có thể chứng minh đủ các điều kiện đã đặt ra trong bài toán này.