Để chứng minh biểu thức \((a + b)(a^2 - ab + b^2) + (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 2a^3\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Mở rộng từng phần

#### Phần 1: Tính \((a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
\]

\[
= a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - b^2a + b^3 = a^3 + b^3 - ab(a - b)
\]

#### Phần 2: Tính \((a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

\[
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)
\]

\[
= a^3 + a^2b + ab^2 - (ba^2 + b^2a + b^3) = a^3 - b^3 + ab(a - b)
\]

### Bước 2: Gộp lại các kết quả

Chúng ta có biểu thức ban đầu là:

\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) + (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Khi thay biểu thức vào, chúng ta thu được:

\[
= (a^3 + b^3 - ab(a - b)) + (a^3 - b^3 + ab(a - b))
\]

### Bước 3: Đơn giản hóa

Các phần tử giống nhau sẽ cộng hoặc trừ đi:

\[
= a^3 + b^3 - ab(a - b) + a^3 - b^3 + ab(a - b)
\]

Điều này dẫn đến:

\[
= 2a^3
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) + (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 2a^3
\]

tương tự với biểu thức thứ hai, ta cũng có thể thực hiện tương tự để chứng minh cho phần b:

\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) - (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 2b^3
\]

Như vậy, cả hai phần của bài toán đã được chứng minh.