Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình \( 2x + y = 5m - 1 \) và \( x - 2y = 2 \) có nghiệm thỏa mãn \( x^2 - 2y^2 = -2 \), ta làm như sau:

1. **Giải hệ phương trình**:
Từ phương trình thứ hai \( x - 2y = 2 \), ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):
\[
x = 2 + 2y
\]
Thay giá trị của \( x \) vào phương trình thứ nhất:
\[
2(2 + 2y) + y = 5m - 1
\]
\[
4 + 4y + y = 5m - 1
\]
\[
5y + 4 = 5m - 1
\]
\[
5y = 5m - 5
\]
\[
y = m - 1
\]

Bây giờ thay giá trị của \( y \) vào biểu thức cho \( x \):
\[
x = 2 + 2(m - 1) = 2 + 2m - 2 = 2m
\]

Như vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
x = 2m \quad \text{và} \quad y = m - 1
\]

2. **Thay vào điều kiện \( x^2 - 2y^2 = -2 \)**:
Thay vào điều kiện đã cho \( x^2 - 2y^2 = -2 \):
\[
(2m)^2 - 2(m - 1)^2 = -2
\]
Tính:
\[
4m^2 - 2((m - 1)^2) = -2
\]
\[
4m^2 - 2(m^2 - 2m + 1) = -2
\]
Đưa về một phương trình bậc hai:
\[
4m^2 - 2m^2 + 4m - 2 = -2
\]
\[
2m^2 + 4m = 0
\]
Phương trình này có thể rút gọn:
\[
2m(m + 2) = 0
\]
Từ đó ta có hai nghiệm:
\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = -2
\]

3. **Kết luận**:
Giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \( x^2 - 2y^2 = -2 \) là:
\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = -2
\]