Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (x+1)(x-2)/x^2

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
y = \frac{(x+1)(x-2)}{x^2},
\]

trước tiên ta sẽ biến đổi biểu thức này.

Mở rộng tử số:

\[
y = \frac{x^2 - x - 2}{x^2} = 1 - \frac{x + 2}{x^2}.
\]

Có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
y = 1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}.
\]

Bây giờ, để tìm giá trị lớn nhất của \(y\), chúng ta có thể tính đạo hàm và tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Tính đạo hàm \(y\):

\[
y' = -\left(-\frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3}\right) = \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3}.
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3} = 0.
\]

Điều này cho thấy biểu thức không có nghiệm thực dương (tại các giá trị dương của \(x\); đạo hàm luôn dương). Chúng ta có thể phân tích thêm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này.

Hãy xem xét giới hạn của \(y\) khi \(x\) có xu hướng về các giá trị đặc biệt. Ta nhận thấy rằng:

- Khi \(x \to 0^{+}\), \(y \to -\infty\).
- Khi \(x \to \infty\), \(y \to 1\).

Bây giờ ta tính \(y\) tại các điểm nổi bật để tìm giá trị lớn nhất, ví dụ với \(x = 1\) và \(x = 2\).

1. Khi \(x = 1\):

\[
y(1) = \frac{(1+1)(1-2)}{1^2} = \frac{2 \cdot (-1)}{1} = -2.
\]

2. Khi \(x = 2\):

\[
y(2) = \frac{(2+1)(2-2)}{2^2} = \frac{3 \cdot 0}{4} = 0.
\]

3. Khi \(x = 3\):

\[
y(3) = \frac{(3+1)(3-2)}{3^2} = \frac{4 \cdot 1}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.444.
\]

Từ các giá trị thử nghiệm trên, không có giá trị nào lớn hơn 1. Do \(y\) có giới hạn là 1 khi \(x \to \infty\), ta có thể kết luận rằng:

\[
\text{Giá trị lớn nhất của biểu thức } \frac{(x+1)(x-2)}{x^2} \text{ là } 1.
\]

Tóm lại, giá trị lớn nhất của biểu thức là

\[
\boxed{1}.
\]