Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### 1. Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
- Góc A là góc vuông (do tam giác ABC vuông cân tại A).
- Các đoạn AD và ME đều là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC. Do đó, AD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC.
- Vì vậy, tứ giác ADME có 1 góc vuông tại A và các cạnh AD và ME vuông góc với nhau, cũng như EH và DM. Điều này chứng tỏ rằng tứ giác ADME là một hình chữ nhật.

### 2. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.

**Chứng minh:**
- Gọi O là giao điểm của các đường thẳng AB và AC (tức là điểm A). Chúng ta có tứ giác ADME là hình chữ nhật.
- Vì I là trung điểm của DE, ta có DE = DM + ME.
- Ta có AD là đường thẳng vuông góc với hoành độ đi qua M (vì AD vuông góc với AB) và DE vuông góc với DE (vì DE vuông góc với AC).

Xét tam giác AMI, ta thấy:
- Góc DAE và IMA đều bằng góc vuông.
- Do đó AMI là một tam giác vuông tại A.
- Cho nên, ta có điểm I nằm trên đoạn AM.

Kết luận: Ba điểm A, I, M thẳng hàng vì I là trung điểm của đoạn DE (khoảng cách từ A đến I bằng khoảng cách từ I đến M), và DE vuông góc với AM.

### 3. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nhất đó, biết AB = 2cm.

**Giải:**
Độ dài DE sẽ nhỏ nhất khi M nằm trên đoạn AO, tức là điểm M phải nằm trên đoạn cao AH trong tam giác vuông cân ABC. Đó là khu vực gần nhất với A.

Giả sử chiều dài AB = 2 cm, ta có:
- Đoạn BC là cạnh huyền = \(\sqrt{AB^2 + AC^2}= \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \text{ (cm)}\).

**Tính độ dài DE:**
Từ tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta có:
\[
DE^2 = AD^2 + AE^2
\]
M là trung điểm giữa BC. Đoạn AM chính là chiều cao. Khi M nằm trên đoạn AO thì DE sẽ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Khi M ở giữa, thiết lập là D=A và E=M.
- Các cạnh đều nhị phân và giải quyết:
\[
DE = \sqrt{ (h)^2 + (h)^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2}
\]
Nếu mà h đạt 1 cm (bán kính) =\[
DE = 2\sqrt{2}/2 = \sqrt{2} = 1.41 \text{ cm} \text{ (khoảng)}
\]
Độ dài nhỏ nhất là:
- \(\sqrt{2}\) cm

Điểm M cần được đặt lên trung điểm BC để đạt độ dài DE nhỏ nhất.

### Tổng kết:
1. Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
2. Ba điểm A, I, M thẳng hàng.
3. Điểm M nằm ở trung điểm BC thì DE có độ dài nhỏ nhất là \(\sqrt{2} \approx 1.41 \text{ cm}\).