Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

Để chứng minh 4 điểm \( A, M, H, N \) cùng thuộc một đường tròn trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh 4 điểm \( A, M, H, N \) thuộc một đường tròn

Trong tam giác vuông \( ABC \), đường cao \( AH \) hạ từ đỉnh vuông \( A \) đến cạnh huyền \( BC \). Gọi \( H \) là giao điểm của \( AH \) và \( BC \). Hình chiếu của \( H \) lên \( AB \) và \( AC \) lần lượt là \( M \) và \( N \).

Ta chứng minh rằng góc \( AMH \) và góc \( ANH \) đều vuông.

1. **Góc \( AMH \)**:
- \( AM \) vuông góc với \( AH \) (bởi vì \( M \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \)).
- \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Do đó, hai góc \( AMH \) và \( AHM \) tạo thành một góc vuông tại \( M \).

2. **Góc \( ANH \)**:
- Tương tự, \( AN \) vuông góc với \( AH \) (bởi vì \( N \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \)).
- \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Vì thế, góc \( ANH \) cũng vuông.

Từ đó, ta có \( \angle AMH + \angle ANH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Nên theo lý thuyết về đường tròn, bốn điểm \( A, M, H, N \) cùng thuộc một đường tròn, với đường kính là đoạn \( MN \).

### b. Tính bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm đó

Gọi các cạnh của tam giác vuông là:
- \( AB = 6 \) cm
- \( AC = 8 \) cm
- \( BC \) là cạnh huyền, có thể tính bằng định lý pytago:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.
\]

Để tính độ dài của \( AH \) (đường cao), chúng ta sử dụng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}.
\]

Tiếp theo, tính độ dài các hình chiếu \( AM \) và \( AN \):
- \( AM = AH \cdot \frac{AC}{BC} = 4.8 \cdot \frac{8}{10} = 4.8 \cdot 0.8 = 3.84 \text{ cm} \).
- \( AN = AH \cdot \frac{AB}{BC} = 4.8 \cdot \frac{6}{10} = 4.8 \cdot 0.6 = 2.88 \text{ cm} \).

Cuối cùng, độ dài đoạn \( MN \) cũng chính là độ dài phần đối diện các hình chiếu trên các trục, và bán kính đường tròn đi qua 4 điểm \( A, M, H, N \) sẽ tính theo công thức:
\[
R = \frac{MN}{2}.
\]
Với \( MN = \sqrt{AM^2 + AN^2} \):
\[
MN = \sqrt{(3.84)^2 + (2.88)^2} = \sqrt{14.7456 + 8.2944} = \sqrt{23.04} \approx 4.8 \text{ cm}.
\]

Bán kính \( R \):
\[
R = \frac{MN}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \text{ cm}.
\]

Tóm tắt:

- 4 điểm \( A, M, H, N \) thuộc cùng một đường tròn.
- Bán kính của đường tròn đó là \( 2.4 \) cm.