Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Tìm ĐKXĐ của A

Để xác định ĐKXĐ (Điều kiện xác định) của biểu thức A, ta cần tìm các giá trị của \( x \) mà có thể làm xuất hiện các mẫu số bằng 0 hoặc không định nghĩa.

Biểu thức A có chứa mẫu số \( \frac{x-4}{x-2} \), vì vậy, ta cần đảm bảo rằng \( x-2 \neq 0 \), tức là:

\[
x \neq 2
\]

Do đó, ĐKXĐ của A là:

\[
x \in \mathbb{R}, \, x \neq 2
\]

### b) Rút gọn A

Biểu thức A được cho là:

\[
A = (x^2-3)(x+1) - (x-3)(x^2+3x+9) + \frac{x-4}{x-2}
\]

Đầu tiên, ta sẽ khai triển và thu gọn các phần:

1. **Khai triển** \( (x^2-3)(x+1) \):
\[
(x^2 - 3)(x + 1) = x^3 + x^2 - 3x - 3
\]

2. **Khai triển** \( (x-3)(x^2+3x+9) \):
\[
(x-3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 + 3x^2 + 9x - 3x^2 - 9 \implies = x^3 + 6x - 9
\]

3. **Kết hợp các phần đã khai triển**:
\[
A = (x^3 + x^2 - 3x - 3) - (x^3 + 6x - 9) + \frac{x-4}{x-2}
\]
\[
A = x^3 + x^2 - 3x - 3 - x^3 - 6x + 9 + \frac{x-4}{x-2}
\]
\[
A = x^2 - 9 + \frac{x-4}{x-2}
\]

4. **Rút gọn phần cuối cùng**: Ta có thể tìm mẫu chung hoặc phần rút gọn khác nếu cần thiết.

### c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), cần phân tích hàm số \( A(x) \) và xác định đạo hàm của nó. Tuy nhiên, việc này yêu cầu tính toán phức tạp hơn nhiều, vì thế, thường cần sử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa và giải phương trình để tìm điểm cực trị.

Nếu có thêm điều kiện cho hàm này (chẳng hạn như hàm bậc hai hay miền giá trị cụ thể) thì có thể dễ dàng hơn.

Nếu bạn cần giải cụ thể cho phần c), hãy thông báo thêm thông tin!