Để tính tổng \( S = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2^n} \), chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp có thể làm đơn giản hóa tính toán.

Đầu tiên, chúng ta biết rằng tổng \( T = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{x^n} \) có thể được tính bằng công thức:

\[
T = \frac{x}{(x-1)^2}, \quad \text{với } |x| > 1
\]

Chúng ta sẽ biến đổi tổng \( S \) cho đến khi không còn phần tử nào lớn hơn \( 100 \):

1. **Tính tổng vô hạn**:
Đặt \( x = 2 \), ta có:
\[
T = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{2}{(2-1)^2} = 2
\]

2. **Tính tổng từ \( n = 101 \) đến vô cùng**:
Ta cần ước lượng phần tổng từ \( n = 101 \) trở đi:
\[
S_{101} = \sum_{n=101}^{\infty} \frac{n}{2^n}
\]
Để tính \( S_{101} \), chúng ta có thể biến đổi như sau:
\[
S_{101} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2^n} = T - S
\]
Nhưng chúng ta vẫn cần tính \( \sum_{n=101}^{\infty} \frac{n}{2^n} \) chi tiết hơn.

Tính tổng \( \sum_{n=101}^{\infty} \frac{n}{2^n} \):
Ta dựa vào công thức:
\[
S = \sum_{n=101}^{\infty} n x^n = x \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)
\]

Tổng từ 101 trở đi là:
\[
\sum_{n=101}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{101}{2^{101}} + \frac{102}{2^{102}} + \dots
\]

Phân rã lại:
\[
= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n + 100}} = \frac{1}{2^{100}} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{m}{2^m}
\]
Từ thử nghiệm cho đến vô hạn:
\[
= \frac{1}{2^{100}} \cdot 2 = \frac{2}{2^{100}} = \frac{1}{2^{99}}
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
Áp dụng vào:
\[
S = T - S_{101} \implies S = 2 - \frac{1}{2^{99}}
\]

Kết quả cuối cùng và tổng cộng:
\[
S = 2 - \frac{1}{2^{99}} \approx 2
\]
Tóm lại, tổng \( S \) có giá trị gần \( 2 \), và phần dư \( \frac{1}{2^{99}} \) rất nhỏ so với 2.