Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 2a, M; N thuộc BC sao cho BM=MN=NC. Tính AM.AN

Đầu tiên, ta xác định tọa độ các điểm trong tam giác vuông ABC với A là điểm gốc (0, 0), B là điểm (a, 0) và C là điểm (0, 2a).

Điểm M và N nằm trên đoạn BC, do đó ta sẽ tìm điểm BC:

- Đường thẳng BC có phương trình được xác định từ hai điểm B và C.
- Điểm B có tọa độ \((a, 0)\) và điểm C có tọa độ \((0, 2a)\).

Tính độ dốc của đường thẳng BC:

\[
\text{Độ dốc} = \frac{2a - 0}{0 - a} = -\frac{2}{1} = -2
\]

Vậy phương trình của đường thẳng BC có dạng:

\[
y - 0 = -2(x - a) \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2a
\]

Tiếp theo, theo đề bài thì điểm M và N chia đoạn BC thành ba phần bằng nhau (BM = MN = NC). Ta cần tìm độ dài của đoạn BC:

- Tính khoảng cách giữa B và C:

\[
BC = \sqrt{(0 - a)^2 + (2a - 0)^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
\]

Vì M và N chia đoạn BC thành 3 phần bằng nhau, nên ta có:

\[
BM = MN = NC = \frac{BC}{3} = \frac{a\sqrt{5}}{3}
\]

Để xác định tọa độ của M và N, ta biết BC là đoạn thẳng từ B(a, 0) đến C(0, 2a) mà M và N nằm trên đường thẳng này.

Sử dụng tỉ lệ để tính tọa độ M và N:

- Tọa độ M sẽ là điểm đáy dưới của BC tính từ B:

\[
M = \left( a(1 - \frac{1}{3}), 0(1 - \frac{1}{3}) + 2a\frac{1}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{2a}{3} \right)
\]

- Tọa độ N sẽ là điểm tiếp theo:

\[
N = \left( a(1 - \frac{2}{3}), 0(1 - \frac{2}{3}) + 2a\frac{2}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{4a}{3} \right)
\]

Tiếp theo, tính độ dài \( AM \) và \( AN \):

\[
AM = \sqrt{\left(\frac{2a}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2a}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{2a}{3}\right)^2} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}
\]

\[
AN = \sqrt{\left(\frac{a}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{4a}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{4a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + \frac{16a^2}{9}} = \sqrt{\frac{17a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{17}}{3}
\]

Cuối cùng, tính tích \( AM \cdot AN \):

\[
AM \cdot AN = \left(\frac{2a\sqrt{2}}{3}\right) \left(\frac{a\sqrt{17}}{3}\right) = \frac{2a^2\sqrt{34}}{9}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{\frac{2a^2\sqrt{34}}{9}}
\]