a) Trong tam giác ABC vuông tại A, theo định nghĩa, tổng ba góc trong một tam giác là 180°. Vì tam giác này có một góc vuông tại A, tức là ∠A = 90°. Có ∠B = 54° đã cho, vậy góc C sẽ được tính như sau:

\[
\angle C = 180° - \angle A - \angle B
\]
\[
\angle C = 180° - 90° - 54° = 36°
\]

Vậy, ta có các số đo góc:
- \(\angle A = 90°\)
- \(\angle B = 54°\)
- \(\angle C = 36°\)

Để sắp xếp các cạnh của tam giác ΔABC theo thứ tự từ bé đến lớn, ta sử dụng định lý về cạnh đối diện với góc. Cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ dài hơn. Theo đó, ta có:
- Cạnh đối diện góc A (BC) là dài nhất.
- Cạnh đối diện góc B (AC) dài hơn cạnh đối diện góc C (AB).

Do đó, sắp xếp các cạnh theo thứ tự từ bé đến lớn là:
\[
AB < AC < BC
\]

b) Để chứng minh rằng đường thẳng BE là tia phân giác của góc ABN, kita lên nhau sử dụng định lý về hình chữ nhật.

Ta viết lại điều kiện:
- Nằm trên cạnh BC, điểm N được chọn sao cho BA = BN.
- Kẻ BE vuông góc với AN tại điểm E.

Để BE là tia phân giác của góc ABN, ta cần chứng minh rằng \(\frac{AB}{BN} = \frac{AE}{EN}\).

Do BA = BN, ta có:
\[
AB = BN
\]
Và theo định lý Pitago cho tam giác vuông tại A:
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]

Lưu ý rằng, đường BE vuông góc với AN chia tam giác ABN thành 2 tam giác nhỏ hơn. Trong đó, các tỷ lệ chiều dài của hai cạnh AB và BN sẽ giống nhau vì chúng bằng nhau. Nên ta có:

\[
\frac{AB}{BN} = 1
\]
Và khi đường BE chia đôi góc, thì:

\[
\frac{AE}{EN} = 1
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng BE là tia phân giác của góc ABN. Do đó, ta có kết luận:

- BE là tia phân giác của góc ABN.