Để giải bài toán này, trước tiên, chúng ta cần tính diện tích của tam giác ABC. Sau đó, chúng ta sẽ tìm tọa độ điểm M trên đoạn BC sao cho diện tích tam giác MAB bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

### 1. Tính diện tích tam giác ABC

Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác với tọa độ các đỉnh:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |
\]
Trong đó, \( A(5, 6) \), \( B(4, -1) \), \( C(-4, 3) \).

Thay thế vào công thức:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} | 5(-1 - 3) + 4(3 - 6) + (-4)(6 - (-1)) |
\]
\[
= \frac{1}{2} | 5(-4) + 4(-3) + (-4)(7) |
\]
\[
= \frac{1}{2} | -20 - 12 - 28 |
\]
\[
= \frac{1}{2} | -60 | = 30
\]

### 2. Diện tích tam giác MAB

Ta muốn tìm điểm M trên đoạn BC sao cho diện tích tam giác MAB bằng 15 (1/2 diện tích tam giác ABC).

Gọi tọa độ điểm M là \( M(x,y) \). Điểm M nằm trên đoạn BC nên ta cần xác định phương trình của đoạn thẳng BC.

#### a. Tìm phương trình đoạn thẳng BC

Tọa độ B là \( (4, -1) \) và C là \( (-4, 3) \).
Hệ số góc \( k \) của đoạn thẳng BC:
\[
k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - (-1)}{-4 - 4} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}
\]
Dùng điểm B để lập phương trình:
\[
y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y + 1 = -\frac{1}{2} x + 2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} x + 1
\]

### 3. Tìm diện tích tam giác MAB

Sử dụng tọa độ M(x, -\frac{1}{2}x + 1), ta tính diện tích:
\[
\text{Diện tích MAB} = \frac{1}{2} | 5(-1 - (-\frac{1}{2}x + 1)) + 4(-\frac{1}{2}x + 1 - 6) + x(6 - (-1)) |
\]
\[
= \frac{1}{2} | 5(-1 + \frac{1}{2}x - 1) + 4(-\frac{1}{2}x - 5) + x(7) |
\]
\[
= \frac{1}{2} | 5(\frac{1}{2}x - 2) - 2x - 20 + 7x |
\]
\[
= \frac{1}{2} | \frac{5}{2}x - 10 - 2x + 7x |
\]
\[
= \frac{1}{2} | \frac{5}{2}x + 5x - 10 | = \frac{1}{2} | \frac{17}{2}x - 10 |
\]

### 4. Đặt bằng 15

Ta có:
\[
\frac{1}{2} | \frac{17}{2}x - 10 | = 15
\]
\[
|\frac{17}{2}x - 10| = 30
\]

Giải hai trường hợp:
1. \( \frac{17}{2} x - 10 = 30 \)
2. \( \frac{17}{2} x - 10 = -30 \)

### Trường hợp 1:
\[
\frac{17}{2} x = 40 \Rightarrow x = \frac{40 \cdot 2}{17} = \frac{80}{17}
\]

### Trường hợp 2:
\[
\frac{17}{2} x = -20 \Rightarrow x = \frac{-20 \cdot 2}{17} = \frac{-40}{17}
\]

### 5. Tọa độ điểm M

Tính y cho hai giá trị x:
- Với \( x = \frac{80}{17} \):
\[
y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{80}{17} + 1 = -\frac{40}{17} + 1 = -\frac{40}{17} + \frac{17}{17} = -\frac{23}{17}
\]

- Với \( x = \frac{-40}{17} \):
\[
y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{-40}{17} + 1 = \frac{20}{17} + 1 = \frac{20}{17} + \frac{17}{17} = \frac{37}{17}
\]

### Kết quả:
Vậy tọa độ của điểm M trên đoạn BC sao cho diện tích tam giác MAB bằng diện tích tam giác ABC là:
- \( M_1(\frac{80}{17}, -\frac{23}{17}) \)
- \( M_2(\frac{-40}{17}, \frac{37}{17}) \)