Để chứng minh rằng \( mn \perp d \) theo thông tin đã cho, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( mn \perp d \)

- Vì \( xy \parallel mn \) và \( xy \perp d \), theo định lý về các đường thẳng song song và vuông góc, ta có:
- Nếu một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng này thì sẽ song song với tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng kia.
- Từ đó, suy ra \( mn \perp d \).

### b) Tính góc \( B_1, B_2 \)

- Từ thông tin góc \( A_1 = 60^\circ \) và \( xy \perp d \), chúng ta có:
- \( \angle A_1 = \angle B_1 \) (góc đồng vị).
- Do đó, \( B_1 = 60^\circ \).

- Với \( mn \parallel xy \) và \( A_1 = 60^\circ \):
- Suy ra \( \angle B_2 = 120^\circ \) (góc ngoài).

### c) Tìm góc \( m\overline{B}K \)

- Để tính \( m\overline{B}K \), ta sử dụng tính chất của các góc.
- Ta có góc \( m\overline{B}K + \angle B_2 = 180^\circ \) (góc bù).
- Thay \( \angle B_2 = 120^\circ \):
- \( m\overline{B}K = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Cuối cùng, ta có:
1. \( mn \perp d \)
2. \( B_1 = 60^\circ \), \( B_2 = 120^\circ \)
3. \( m\overline{B}K = 60^\circ \)