Để chứng minh các yêu cầu đã nêu, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách có hệ thống.

**A) Chứng minh tam giác MAB = tam giác MCE:**

Ta có:
- M là trung điểm của cạnh AC, nghĩa là \( AM = MC \).
- ME = MB (theo giả thiết).

Ta cần chứng minh rằng góc \( \angle MAB = \angle MCE \).

- Ta có góc \( \angle MAB = \angle MBE \) (vì MB là một đường trung bình).
- Từ đó, có thể suy ra rằng tam giác MAB đồng dạng với tam giác MCE theo tỷ lệ:

\[
\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{ME}
\]

Vì MA = MC (M là trung điểm), và \( ME = MB \), nên

\[
\frac{MA}{MC} = 1
\]

=> Tam giác MAB = tam giác MCE (theo tiêu chí đồng dạng).

**B) Chứng minh AB // EC:**

- Ta đã chứng minh rằng tam giác MAB = tam giác MCE, tức là có độ dài và các góc tương ứng giống nhau.
- Do đó, góc AMB = góc EMC.

- Vì MB // EC (từ tính chất tam giác đều), và với việc \( AB \) là đoạn thẳng tiếp tuyến với MB, thì hiện tại, ta có:

\[
\angle MAB = \angle MEC
\]

Từ đó, ta suy ra rằng \( AB // EC \).

**C) Kẻ AD vuông góc với BE tại D, kẻ CK vuông góc với BE tại K. Chứng minh AK = CD:**

- Dựa vào việc kẻ AD vuông góc với BE và CK vuông góc với BE, ta có:
- \( AD \perp BE \)
- \( CK \perp BE \)

Ta có 2 tam giác vuông:

- Tam giác \( ADB \) và tam giác \( CEK \).

- Mỗi tam giác này có cạnh vuông góc tương ứng là AD và CK, còn lại là BD và EK.

Hoạt động này cho ta biết rằng nếu \( CDAK \) là các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng vuông góc với BE, thì AK = CD.

Ta có thể xác định rằng AK = CD từ việc dùng định nghĩa các tam giác vuông.

Như vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.