Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{{\sin }^3}\dfrac{B}{2}}}{{\cos \left( {\dfrac{2}} \right)}}

Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{{\sin^3\left(\frac{B}{2}\right)}}{{\cos\left(\frac{A}{2}\right)}} < 1\) trong một tam giác \(ABC\), ta sẽ sử dụng các tính chất của các hàm lượng giác và mối quan hệ giữa các góc của tam giác.

Trong tam giác \(ABC\), ta có:
- \(A + B + C = 180^\circ\)

Do đó,
\[
\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^\circ \implies \frac{C}{2} = 90^\circ - \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right)
\]

Bằng định lí lượng giác, ta cũng biết rằng:
- \(\cos\left(\frac{C}{2}\right) = \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\)

Dễ dàng nhận thấy rằng trong tam giác \(ABC\), các giá trị của các góc \(A\), \(B\), \(C\) luôn luôn nhỏ hơn \(180^\circ\), nên các giá trị \(\sin\) và \(\cos\) sẽ được giữ trong khoảng \([0, 1]\).

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các hàm số và một số bất đẳng thức cơ bản trong hình học lượng giác.

### Bước chứng minh:

Ta có:
- \(\sin\left(\frac{B}{2}\right) < 1\)
- \(\cos\left(\frac{A}{2}\right) > 0\)

Vì vậy,
\[
\sin^3\left(\frac{B}{2}\right) < \sin\left(\frac{B}{2}\right)
\]

Mặt khác, từ tính chất của \(\cos\) trên khoảng \(0 < \frac{A}{2} < 90^\circ\), ta có
\[
\cos\left(\frac{A}{2}\right) < 1
\]

Vì thế:
\[
\frac{\sin^3\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A}{2}\right)} < \frac{\sin\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A}{2}\right)}
\]

### Kết luận:

Ta đã có:
\[
\frac{\sin^3\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A}{2}\right)} < \frac{\sin\left(\frac{B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A}{2}\right)} <1
\]

Do đó, điều phải chứng minh là đúng:
\[
\frac{{\sin^3\left(\frac{B}{2}\right)}}{{\cos\left(\frac{A}{2}\right)}} < 1
\]

Chúng ta đã hoàn tất việc chứng minh.