Dưới đây là phân tích đa thức thành nhân tử cho từng đa thức đã cho:

1. **Đối với** \( P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 6 \):
- Ta có thể thử nghiệm chia đa thức này bằng cách dùng quy tắc Horner, hoặc xác định nghiệm của đa thức.
- Tuy nhiên, sau khi thử nghiệm với các số nguyên, ta không tìm thấy nghiệm hữu tỷ nào. Đa thức này không thể phân tích thành nhân tử hơn mà không có các nghiệm phức.

2. **Đối với** \( P(x) = 2x^3 - x^2 + 4x - 2 \):
- Ta có thể nhóm lại:
\[
P(x) = (2x^3 - x^2) + (4x - 2) = x^2(2x - 1) + 2(2x - 1)
\]
- Rút gọn:
\[
P(x) = (2x - 1)(x^2 + 2)
\]
- Ta có thể thấy rằng \( x^2 + 2 \) không thể phân tích thêm trong các số thực.

3. **Đối với** \( P(x) = 3x^3 + 9x^2 - 2x - 6 \):
- Nhóm lại:
\[
P(x) = (3x^3 + 9x^2) + (-2x - 6) = 3x^2(x + 3) - 2(x + 3)
\]
- Rút gọn:
\[
P(x) = (x + 3)(3x^2 - 2)
\]

4. **Đối với** \( P(x) = x^4 - x^3 + x - 1 \):
- Nhóm lại:
\[
P(x) = x^3(x - 1) + 1(x - 1) = (x - 1)(x^3 + 1)
\]
- Đa thức \( x^3 + 1 \) có thể phân tích thêm:
\[
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
\]
- Do đó, \( P(x) \) có thể viết lại là:
\[
P(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)
\]

5. **Đối với** \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 6 \):
- Nhóm lại:
\[
P(x) = (x^3 - 3x^2) + (2x - 6) = x^2(x - 3) + 2(x - 3)
\]
- Rút gọn:
\[
P(x) = (x - 3)(x^2 + 2)
\]
- Tương tự như trường hợp trước, \( x^2 + 2 \) không thể phân tích thêm trong các số thực.

Tóm lại, các phân tích nhân tử cho từng đa thức là:
1. \( P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 6 \) (không phân tích thêm)
2. \( P(x) = (2x - 1)(x^2 + 2) \)
3. \( P(x) = (x + 3)(3x^2 - 2) \)
4. \( P(x) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \)
5. \( P(x) = (x - 3)(x^2 + 2) \)