Để giải bài toán về hình thoi ABCD với các điểm E, F, G, H như đã nêu, ta sẽ đi từng bước một theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng EG ⊥ AB và O là trung điểm của EG.

1. **Chứng minh EG ⊥ AB:**

Từ định nghĩa, E là hình chiếu vuông góc của O lên AB. Khi đó, điểm E được xác định sao cho đoạn thẳng OE vuông góc với AB. Vậy ta có EG ⊥ AB.

2. **Chứng minh O là trung điểm của EG:**

Trong hình thoi, tâm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Do đó, O là trung điểm của cả hai đường chéo.

Khi E là hình chiếu của O lên AB, ta có đoạn thẳng OE = OE và chúng ta có thể sử dụng tính đối xứng của hình thoi: O cách đều hai điểm A và B trên đoạn thẳng AB. Điều này dẫn đến việc O là trung điểm của đoạn EG, và từ đó suy ra chiều dài của đoạn OE và OE bằng nhau, tức là O là trung điểm của EG.

### b) Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Để chứng minh EFGH là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện của hình tứ giác này đều song song và các góc đều bằng 90 độ.

- **Chứng minh góc EFO, FGO, GHO, HEQ đều bằng 90 độ:**

- Gọi M1 = ∠EOF, M2 = ∠FGO, M3 = ∠GHO, M4 = ∠HEO.
- Do E nằm trên AB (và là hình chiếu của O), nên ∠EOF = 90°.
- Tương tự, ∠FGO, ∠GHO, ∠HEO đều bằng 90°.

- **Chứng minh các cạnh đối diện EF và GH, EH và FG song song:**

- Do E nằm trên AB và H nằm trên AD, với cùng cách pháp như trên cho các cặp cạnh:
- EF || GH và EH || FG.

Như vậy, EFGH là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh rằng MNPQ là hình thoi.

1. **Tìm M và P:**
- EF cắt BD tại M.
- GH cũng cắt BD tại P.

2. **Tìm N và Q:**
- FG cắt AC tại N.
- HE cắt AC tại Q.

3. **Chứng minh rằng MNPQ là hình thoi:**
- Để chứng minh MNPQ là hình thoi, ta cần chứng minh rằng MN = NP = PQ = QM (các cạnh bằng nhau).
- Do tính đối xứng của hình thoi, ta có thể giới thiệu sự đối xứng của điểm M và P qua O, và tương tự cho các điểm N và Q qua O.

Vì MNPQ có các cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau, kết hợp với tính chất đối xứng, điều này chứng tỏ rằng MNPQ là hình thoi.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh thành công cả ba yêu cầu của bài toán: EG vuông góc với AB và O là trung điểm của EG, EFGH là hình chữ nhật, và MNPQ là hình thoi.