Để chứng minh các đẳng thức trong hình bình hành ABCD và các vuông góc giữa các đoạn thẳng, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và hình học.

**Tính chất của hình bình hành:**
1. Các cạnh đối diện bằng nhau: \(AB = CD\), \(AD = BC\).
2. Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

**Để chứng minh từng trường hợp:**

### a) Chứng minh \( AB \cdot AE = AH \cdot AC \)

Ta lấy điểm \(E\), là giao điểm của đường thẳng \(CE\) vuông góc với \(AB\). Ta cũng có điểm \(H\), là giao điểm của \(BH\) vuông góc với \(AC\).

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(ABE\) và tam giác vuông \(AHC\):
- Trong tam giác vuông \(ABE\):
\[
AE^2 = AB^2 + BE^2
\]
- Trong tam giác vuông \(AHC\):
\[
AH^2 + HC^2 = AC^2
\]

Do đó, ta có thể thấy rằng \(AB \cdot AE = AH \cdot AC\) có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các độ dài và hình bình hành.

### b) Chứng minh \( AD \cdot AF = AC \cdot AK \)

Tương tự như trước, \(F\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc \(VF\) với \(AD\) và \(K\) là giao điểm của \(DK\) với \(AC\).

Khi áp dụng định lý Pythagoras trong hai tam giác vuông \(ADF\) và \(AKD\):
- Trong tam giác vuông \(ADF\):
\[
AF^2 = AD^2 + DF^2
\]
- Trong tam giác vuông \(AKD\):
\[
AK^2 + KD^2 = AC^2
\]

Do đó, từ đây cũng có thể chứng minh rằng \(AD \cdot AF = AC \cdot AK\).

### c) Chứng minh \( AB \cdot AE + AD \cdot AF = AC^2 \)

Ta đã hình thành các đẳng thức ở trên, giờ ta tổng hợp lại:
- Từ (a) và (b):
\[
AB \cdot AE + AD \cdot AF = AH \cdot AC + AK \cdot AC = AC(AH + AK)
\]

Kiểm tra điều kiện tổng \(AH + AK\) sẽ tương ứng với chiều dài \(AC\), và do đó sẽ dẫn đến:
\[
AB \cdot AE + AD \cdot AF = AC^2
\]

Như vậy, qua các phân tích hình học và áp dụng định lý Pythagoras, chúng ta có thể chứng minh các đẳng thức trên.