Để giải bài toán này, ta sẽ làm lần lượt theo từng câu hỏi đã nêu.

### a) Chứng minh góc \( \angle ABM = \angle MCM \).

Trong tam giác đều \( \triangle ABC \) với \( AB = AC \), M là trung điểm của BC. Vì vậy:
- \( BM = MC \) (theo định nghĩa trung điểm).

Ta có:
- \( MH \) là đường vuông góc với \( AB \),
- \( MI \) là đường vuông góc với \( AC \).

Ta sẽ xem xét hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACM \):
- \( AB = AC \) (giả thiết),
- \( BM = MC \) (M là trung điểm),
- \( \angle ABM = \angle ACM \) (do đường vuông góc).

Vậy từ các yếu tố trên, ta có \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \) (điều kiện cạnh - cạnh - cạnh). Suy ra:
- \( \angle ABM = \angle MCM \).

### b) Biết \( \angle BAC = 100^\circ \). Tính \( \angle ABM \)?

Ta có \( \angle BAC = 100^\circ \).

Vì \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \) thì:
- \( \angle ABM + \angle ACM = \angle BAC = 100^\circ \).

Vì \( \angle ABM = \angle ACM \) (đã chứng minh ở phần a), ta có:
- \( 2 \cdot \angle ABM = 100^\circ \).

Suy ra:
- \( \angle ABM = 50^\circ \).

### c) Chứng minh \( MH = MI \).

Xét hai tam giác vuông \( \triangle MHB \) và \( \triangle MIC \):
- \( MH \) và \( MI \) đều là độ dài của đường vuông góc từ điểm M đến các cạnh \( AB \) và \( AC \).
- Đồ thị \( AB = AC \) nên hai tam giác \( \triangle MHB \) và \( \triangle MIC \) sẽ có các cạnh tương ứng:
- \( BM = MC \) (M là trung điểm),
- \( \angle ABM = \angle ACM \) (đã chứng minh).

Từ đó ta có thể kết luận rằng:
- \( MH = MI \).

### Kết luận:

1. \( \angle ABM = \angle MCM \).
2. \( \angle ABM = 50^\circ \).
3. \( MH = MI \).