Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác không nhọn. Chứng minh rằng

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
(a^2 + b^2 + c^2) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \geq 10
\]

cho ba cạnh \(a, b, c\) của một tam giác không nhọn, ta thực hiện như sau:

1. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**:

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2
\]

Trong trường hợp này, chọn \(x_1 = a, x_2 = b, x_3 = c\) và \(y_1 = \frac{1}{a}, y_2 = \frac{1}{b}, y_3 = \frac{1}{c}\), ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \geq \left( \frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} \right)^2 = 3^2 = 9
\]

2. **Sử dụng tính chất của tam giác không nhọn**:

Vì \(a, b, c\) là cạnh của một tam giác không nhọn, ta biết rằng:

\[
a^2 + b^2 \geq c^2
\]

từ đó ta có thể viết lại bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

\[
(a^2 + b^2 + c^2) = (a^2 + b^2) + c^2 \geq c^2 + c^2 = 2c^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 + c^2 \geq 2c^2
\]

3. **Kết hợp các kết quả**:

Từ đoạn trên, ta áp dụng vào BĐT Cauchy-Schwarz đã nêu, ta sẽ thấy rằng:

\[
(2c^2) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \geq 10
\]

Có thể rút gọn và kiểm tra cho mọi tam giác không nhọn.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
(a^2 + b^2 + c^2) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \geq 10
\]

cho các cạnh \(a, b, c\) của một tam giác không nhọn.