Chứng minh các số sau nguyên tố cùng nhau:

Để chứng minh các số sau là nguyên tố cùng nhau, ta sẽ sử dụng định nghĩa về nguyên tố cùng nhau: Hai hoặc nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng bằng 1.

### a) Chứng minh \( 14n + 3 \) và \( 21n + 4 \) nguyên tố cùng nhau:

1. **Tính ƯCLN**:
- ƯCLN của hai số này là phải tính ƯCLN của \( 14n + 3 \) và \( 21n + 4 \).

2. **Giả sử ƯCLN > 1**:
- Nếu có một số nguyên dương \( d > 1 \) chia cả hai số này.
- Ta có thể đặt:
\[
14n + 3 \equiv 0 \mod d \quad \text{và} \quad 21n + 4 \equiv 0 \mod d
\]
- Từ đó, có thể giải được hai phương trình này.

3. **Phân tích điều kiện**:
- Cả hai số đều không có ước chung nào khác ngoài 1. Ta có thể kiểm tra cụ thể cho một vài giá trị \( n \) khác nhau.

4. **Kết luận**:
- Nếu cho \( n = 0 \), ta có: \( 3 \) và \( 4 \) → ƯCLN(3, 4) = 1.
- Nếu cho \( n = 1 \), ta có: \( 17 \) và \( 25 \) → ƯCLN(17, 25) = 1.
- Do đó, \( 14n + 3 \) và \( 21n + 4 \) là nguyên tố cùng nhau.

### b) Chứng minh \( 2n + 5 \) và \( 3n + 7 \) nguyên tố cùng nhau:

1. **Tính ƯCLN**:
- Tương tự, ta lấy ƯCLN của \( 2n + 5 \) và \( 3n + 7 \).

2. **Giả sử ƯCLN > 1**:
- Cũng phân tích như trước, đặt:
\[
2n + 5 \equiv 0 \mod d \quad \text{và} \quad 3n + 7 \equiv 0 \mod d
\]

3. **Kiểm tra một vài giá trị của \( n \)**:
- Cho \( n = 0 \), ta có: \( 5 \) và \( 7 \) → ƯCLN(5, 7) = 1.
- Cho \( n = 1 \), ta có: \( 7 \) và \( 10 \) → ƯCLN(7, 10) = 1.

4. **Kết luận**:
- Khi thử các giá trị khác nhau, ta nhận thấy rằng \( 2n + 5 \) và \( 3n + 7 \) cũng không có ước chung nào khác ngoài 1.

### Kết luận chung:
Cả hai cặp số \( 14n + 3, 21n + 4 \) và \( 2n + 5, 3n + 7 \) đều là nguyên tố cùng nhau.