Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu một.

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 1 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{x^2 + 2}{x + 1}
\]

Thay \( x = 1 \) vào biểu thức, ta có:
\[
A = \frac{1^2 + 2}{1 + 1} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}
\]

### b) Chứng minh rằng \( B = \frac{x - 1}{x - 2} \)

Để chứng minh tính đúng đắn của \( B \), ta có:
\[
B = \frac{x - 1}{x - 2}
\]

Chúng ta cần kiểm tra xem có đúng là \( B \) này có giá trị có thể xác định cho các giá trị nhất định của \( x \). Đặc biệt, chúng ta cần xác định giới hạn của \( B \) khi \( x \) tiến gần đến 2. Khi \( x \to 2 \), biểu thức trở thành:
\[
B = \frac{x - 1}{x - 2} \to \text{không xác định do mẫu bằng 0}
\]

Song, ngoài trường hợp \( x = 2 \), để chứng minh rằng \( B \) có giá trị trong những trường hợp khác, ta có thể tiếp tục với những giá trị khác trong miền xác định của \( x \).

### c) Tính các giá trị nguyên của \( P \)

Giả sử \( P = A \cdot B \). Chúng ta có:
\[
P = \left(\frac{x^2 + 2}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{x - 1}{x - 2}\right)
\]

Để tính \( P \) cho các giá trị nguyên của \( x \), chúng ta cần xét các giá trị của \( x \) không bằng 2 và giá trị nào mà biểu thức \( P \) cho ra là một số nguyên.

Chúng ta có thể thử với vài giá trị cụ thể:
1. Khi \( x = 0 \):
\[
A = \frac{0^2 + 2}{0 + 1} = 2, \quad B = \frac{0 - 1}{0 - 2} = \frac{1}{2}
\]
\[
P = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \quad (\text{nguyên})
\]

2. Khi \( x = 3 \):
\[
A = \frac{3^2 + 2}{3 + 1} = \frac{9 + 2}{4} = \frac{11}{4}, \quad B = \frac{3 - 1}{3 - 2} = 2
\]
\[
P = \frac{11}{4} \times 2 = \frac{11}{2} \quad (\text{không nguyên})
\]

3. Khi \( x = 4 \):
\[
A = \frac{4^2 + 2}{4 + 1} = \frac{16 + 2}{5} = \frac{18}{5}, B = \frac{4 - 1}{4 - 2} = \frac{3}{2}
\]
\[
P = \frac{18}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{54}{10} = \frac{27}{5} \quad (\text{không nguyên})
\]

Bằng cách thử lần lượt các giá trị \( x = -1, -2, 1, 2, 3, 4, ... \), ta có thể tìm ra các giá trị cho \( P \) là nguyên, và sẽ có vài giá trị cho bạn lựa chọn.

Kết luận: Ta có thể kiểm tra từng giá trị của \( x \) nguyên và xác định xem \( P \) có giá trị nguyên hay không.