Cho tam giác ABC có AB=AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại M

Để chứng minh các tính chất trong tam giác ABC với AB = AC, ta cùng làm từng bài cần chứng minh như sau:

**a)** Chúng ta cần chứng minh rằng ∠AMB = ∠AMC.

1. **Dữ kiện:** Trong tam giác ABC có AB = AC (tam giác này là tam giác cân tại A). Tia phân giác của góc A cắt BC tại M.

2. **Tính chất:** Tia phân giác của góc A chia góc A thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]

3. **Xét hai tam giác:** Ta sẽ xem xét hai tam giác AMB và AMC:
- Trong tam giác AMB:
- Có \(\angle BAM = \angle CAM\) (từ tính chất tia phân giác).
- AM là chung cạnh (mỗi tam giác có cạnh AM).

4. **Mối liên hệ cạnh**: Ta có AB = AC (do giả thiết tam giác cân).

5. **Hệ quả từ hai tam giác**: Từ sự tương ứng giữa các yếu tố trên:
- Ta có hai tam giác AMB và AMC có:
- \(\angle BAM = \angle CAM\)
- AM = AM (cạnh chung)
- AB = AC

Suy từ điều kiện chứng minh hai tam giác AMB và AMC đồng dạng, từ đó chúng ta có:
\[
\angle AMB = \angle AMC
\]
Vậy nên, ta có được kết luận là ∠AMB = ∠AMC.

---

**b)** Tại đây, chúng ta sẽ chứng minh AB // DC với MD = MA.

1. **Dữ kiện:** Tại điểm M, mở rộng tia MA sang bên đối diện để có điểm D sao cho MD = MA.

2. **Xét góc:** Ta cần nhìn vào các góc ∠AMM và ∠DMC:
- Theo giả thiết, ta có \(\angle BAM = \angle CAM\) (tia phân giác)
- Vì MD = MA nên đoạn MD và AM có độ dài bằng nhau, do đó góc ∠DMB sẽ bằng với góc ∠AMB (cùng một gốc tại M).

3. **Kết hợp góc:** Giả sử rằng ta có ∠DMB = ∠MAB và ∠AMC = ∠DMC. Từ đó, ta thấy rằng:
\[
\angle DMB + \angle DMC = \angle AMB + \angle AMC = 180^{\circ} (vì M nằm trên BC)
\]

4. **Gọi tên tính chất:** Chúng ta có nhận thấy rằng hai góc ∠DMB và ∠DMC tạo thành một cặp góc trong cùng một mặt phẳng và chia một đường thẳng.

5. **Kết luận**: Do đó, ta có thể suy ra rằng:

\[ AB // DC \]
Vì hai góc ∠DMB và ∠DMC bằng nhau và đồng thời là hai góc so le trong với các đường thẳng song song.

Vậy ta đã chứng minh được AB // DC.