Tính giới hạn sau

Để tính giới hạn sau:

\[
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{2x^3 - 3x + 1}
\]

Chúng ta sẽ thực hiện một số bước như sau:

1. **Thay giá trị x = 1 vào biểu thức**:
- Tử số: \(\sqrt{3(1) + 1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0\)
- Mẫu số: \(2(1)^3 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0\)

Cả tử số và mẫu số đều bằng 0, nên ta sẽ cần áp dụng quy tắc L'Hôpital hoặc biến đổi biểu thức.

2. **Biến đổi tử số**:

Sử dụng định nghĩa đạo hàm hoặc khai triển hạng tử, ta có:

\[
\sqrt{3x + 1} - 2 = \frac{(3x + 1) - 4}{\sqrt{3x + 1} + 2} = \frac{3x - 3}{\sqrt{3x + 1} + 2} = \frac{3(x - 1)}{\sqrt{3x + 1} + 2}
\]

3. **Thay thế vào biểu thức**:

\[
\lim_{x \to 1} \frac{\frac{3(x - 1)}{\sqrt{3x + 1} + 2}}{2x^3 - 3x + 1}
\]

4. **Tính mẫu số**:

Mẫu số \(2x^3 - 3x + 1\) có thể được khai triển xung quanh \(x = 1\):

\[
2(1)^3 - 3(1) + 1 = 0 \rightarrow \text{ (sử dụng bội số)} \rightarrow \text{có thể khai triển hoặc dùng L'Hôpital.}
\]

5. **Sử dụng L'Hôpital**:

\[
\text{Đạo hàm tử số} = 3, \quad \text{Đạo hàm mẫu số} = 6x^2 - 3.
\]

Tính để giới hạn:

\[
\lim_{x \to 1} \frac{3}{6(1)^2 - 3} = \frac{3}{6 - 3} = \frac{3}{3} = 1.
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{2x^3 - 3x + 1} = 1.
\]

Trong biểu thức trên, ta có: \(a = 1\) và \(b = 1\), do đó:

\[
P = a + b = 1 + 1 = 2.
\]

**Kết luận**: \(P = 2\).