Tính giới hạn

Để tìm giới hạn sau:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^n}{1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^n}
\]

Ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân:

\[
S_n = a \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}
\]

Với \( a \) là số hạng đầu tiên và \( r \) là tỷ số.

### Tổng ở tử số:

Tổng của cấp số nhân \( 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^n \):

\[
S_n = 1 \cdot \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n+1} - 1}{2}
\]

### Tổng ở mẫu số:

Tổng của cấp số nhân \( 1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^n \):

\[
S_n = 1 \cdot \frac{5^{n+1} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{n+1} - 1}{4}
\]

### Thay vào giới hạn:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3^{n+1} - 1}{2}}{\frac{5^{n+1} - 1}{4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4(3^{n+1} - 1)}{2(5^{n+1} - 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(3^{n+1} - 1)}{5^{n+1} - 1}
\]

### Chia bậc lớn nhất:

Khi \( n \to \infty \), bậc lớn nhất của \( 3^{n+1} \) và \( 5^{n+1} \) sẽ chi phối:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^{n+1}}{5^{n+1}} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{5} \right)^{n+1}
\]

### Kết quả:

Vì \( \frac{3}{5} < 1 \), nên giới hạn này sẽ tiến tới 0:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^{n+1}}{5^{n+1}} = 0
\]

Do đó, giới hạn là:

\[
\boxed{0}
\]