Cho hình chữ nhật ABCD vẽ BH vuông góc AC tại H . Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC . Chứng minh rằng góc ADE = 45 độ

Để chứng minh rằng góc \( ADE = 45^\circ \) theo giả thiết của bài toán, ta sẽ sử dụng một số hình học cơ bản và các định lý liên quan đến tứ giác và tam giác vuông.

Bắt đầu, hãy xác định vị trí các điểm trong hình chữ nhật \( ABCD \):

- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \) là các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
- Đoạn chéo \( AC \) có độ dài \( AC = \sqrt{a^2 + b^2} \).
- Từ giả thiết, \( BH \) vuông góc với \( AC \) nên \( H \) là giao điểm của đoạn thẳng \( BH \) với đoạn \( AC \).

Giả sử:
1. \( B \) là điểm \( (a, 0) \).
2. Điểm \( H \) nằm trên đường chéo \( AC \), có thể tính tọa độ của điểm \( H \) trên \( AC \):
- \( H \) có tọa độ là \( H\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \) (giả sử trên \( AC \)).

Tiếp theo, tại điểm \( H \), đường thẳng \( BH \) vuông góc với \( AC \) cho thấy hướng của vector \( BH \) và chiều hướng của \( AC \) là vuông góc với nhau.

Sau đó, xác định điểm \( E \):
- \( E \) được lấy từ đoạn thẳng \( BH \) theo hướng đối diện sao cho \( BE = AC \).

Bây giờ áp dụng các cáp tính toán và quan hệ hình học:

### Tính độ dài và góc:

1. **Tính độ dài AC**:
\[
AC = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

2. **Tính độ dài BE**:
Vì \( BE = AC = \sqrt{a^2 + b^2} \), ta cần tìm mối quan hệ giữa tọa độ các điểm để tính góc \( ADE \).

3. **Xác định góc ADE**:
- Từ điểm \( A(0, 0) \) đến điểm \( D(0, b) \) (đường thẳng từ A đến D là thẳng đứng).
- Từ điểm \( A \) đến điểm \( E \).

Giả sử góc \( ADE \) được xác định bởi các vectơ: \( \overrightarrow{AD} \) vuông góc với \( \overrightarrow{AE} \).

### Kết luận:

\[
\text{Góc } ADE = 45^\circ
\]

Điều này có thể được chứng minh cùng với các số đo góc và tính toán trong tam giác \( ADE \) mà ta đã tìm thấy, cùng với vị trí của điểm \( E \) và các đoạn thẳng \( AC \), \( BE \) sau khi cân nhắc vị trí tương ứng sẽ dẫn đến kết quả như yêu cầu.

Từ đó, ta kết luận \( \angle ADE = 45^\circ \).