Để tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = \frac{1}{4} \), ta thay giá trị của \( x \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{\sqrt{x - 2}}{2\sqrt{x}}
\]

Tiến hành thay \( x \) vào:

1. Tính \( x - 2 \):
\[
x - 2 = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4}
\]

2. Tính \( \sqrt{x} \):
\[
\sqrt{x} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
\]

3. Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{\sqrt{-\frac{7}{4}}}{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{-\frac{7}{4}}}{1}
\]

Do đó, \( A \) phụ thuộc vào giá trị của \( \sqrt{-\frac{7}{4}} \), đây là một số phức vì nó chứa căn bậc hai của một số âm. Vì vậy, biểu thức \( A \) không có giá trị thực khi \( x = \frac{1}{4} \).

Kết luận: Biểu thức \( A \) không có giá trị thực với \( x = \frac{1}{4} \).