Để tìm tổng 23 số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) được xác định bởi:

- \(u_1 = 4\)
- \(u_{n+1} = u_n + 2\), với \(n \geq 1\)

Trước tiên, ta sẽ xác định công thức tổng quát cho dãy số này.

### Bước 1: Tìm công thức tổng quát của \(u_n\)

Dễ dàng nhận thấy rằng dãy số này là một dãy số cấp số cộng với:
- Số hạng đầu tiên \(u_1 = 4\)
- Công sai \(d = 2\)

Công thức tổng quát của dãy số cấp số cộng là:

\[
u_n = u_1 + (n - 1) d
\]

Thay giá trị vào, ta có:

\[
u_n = 4 + (n - 1) \cdot 2 = 4 + 2n - 2 = 2n + 2
\]

### Bước 2: Tính tổng 23 số hạng đầu

Bây giờ chúng ta tính tổng 23 số hạng đầu tiên \(S_{23}\):

\[
S_{23} = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_{23}
\]

Áp dụng công thức cho \(u_n\):

\[
S_{23} = (u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_{23}) = (2 \cdot 1 + 2) + (2 \cdot 2 + 2) + (2 \cdot 3 + 2) + \ldots + (2 \cdot 23 + 2)
\]

Nhóm các hạng tử lại:

\[
S_{23} = 2(1 + 2 + 3 + \ldots + 23) + 23 \cdot 2
\]

### Bước 3: Tính tổng \(1 + 2 + 3 + \ldots + 23\)

Tổng của các số tự nhiên từ 1 đến \(n\) được tính bằng công thức:

\[
\frac{n(n + 1)}{2}
\]

Với \(n = 23\):

\[
1 + 2 + 3 + \ldots + 23 = \frac{23 \cdot 24}{2} = 276
\]

### Bước 4: Tính tổng \(S_{23}\)

Thay vào công thức tổng \(S_{23}\):

\[
S_{23} = 2 \cdot 276 + 23 \cdot 2 = 552 + 46 = 598
\]

### Kết luận

Tổng 23 số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) là:

\[
\boxed{598}
\]