Để chứng minh các quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác cân ABC với đường phân giác AD, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và các định lý cơ bản về hình học.

### a) Chứng minh AE = AK

1. **Xét tam giác DAC**: AD là đường phân giác của góc A, nên theo định lý về đường phân giác, ta có:
\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AB = AC. Do đó, \( \frac{DB}{DC} = 1 \) hay DB = DC.

2. **Chứng minh AE = AK**: Từ D, kẻ DE vuông góc với AB và DK vuông góc với AC. Do đó, tam giác ADE và tam giác ADK là hai tam giác vuông tại D.

- Trong tam giác ADE, góc DAE = góc DAK (vì chúng là góc dưới tại D và đối diện với các cạnh bằng nhau AB và AC)
- Có DE = DK (cả hai đều là đường vuông góc từ D đến các cạnh AB và AC)

Từ góc DAE bằng góc DAK và DE = DK, ta suy ra rằng \( \triangle ADE \cong \triangle ADK \) (theo chỉ số góc-góc-cạnh).

Suy ra AE = AK.

### b) Chứng minh EB = KC

1. **Xét các đoạn thẳng DB và DC**: Ta đã chứng minh rằng DB = DC từ điều kiện AB = AC trong tam giác cân.

2. **Tính chất của các đoạn thẳng DE và DK**: Từ A, DE vuông góc với AB và DK vuông góc với AC. Điều này tạo thành hai tam giác vuông nhỏ.

3. **Xét các đoạn thẳng EB và KC**:
- Từ định lý Pythagore, ta có:
- \( AB^2 = AE^2 + EB^2 \)
- \( AC^2 = AK^2 + KC^2 \)

Với AE = AK (từ phần chứng minh a), ta có:
\[
AB^2 = AK^2 + EB^2
\]
\[
AC^2 = AK^2 + KC^2
\]

Do AB = AC, hai phương trình trên trở thành:

\[
AK^2 + EB^2 = AK^2 + KC^2
\]

Rút gọn hai vế, ta suy ra rằng:

\[
EB^2 = KC^2
\]

Như vậy ta có EB = KC.

### Kết luận

- **Vậy ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh**:
- AE = AK
- EB = KC