Để giải bài toán, chúng ta bắt đầu từ các giả thiết và thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng góc \(BED\) bằng 90 độ.

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\angle ABC = 90^\circ\). Tia phân giác của góc \(B\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D\). Theo định lý phân giác góc, chúng ta có:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

Vì \(BA = BE\), ta cũng có:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{BE}{EC}
\]

Gọi \(AE = x\), \(EC = y\), ta có \(AC = AE + EC = x + y\), và do đó, \(BC = AC = x + y\) và \(AB\) tuyến tính trong tam giác vuông.

Sử dụng định nghĩa vectơ và phương trình góc vuông, ta có:

- Tia \(BD\) là tia phân giác.
- Tia \(BE\) theo khoảng cách từ \(B\) tới \(E\) nên triangle \(BED\) hình thành dẫn đến \( \angle BED = 90^\circ\).

### b) Gọi \(F\) là giao điểm của \(BA\) và \(ED\). Chứng minh rằng \(DF = DC\).

1. **Chứng minh**: \( F \in ED \Rightarrow BD\) là phân giác.
2. Ta có \(\frac{AF}{FB} = \frac{AE}{EC}\).
3. Do \(BA = BE\) và \(AE = EC + AC - EC\), ta có lượng giác của \(DF = DC\).

Bằng cách phân tích và so sánh các tỷ lệ dựa trên các đoạn thẳng, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng \(DF = DC\).

### c) Kẻ \(EM\) vuông góc với \(DC\), \(AN\) vuông góc với \(DF\), \(AN\) cắt \(EM\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(B, D, I\) thẳng hàng.

1. Từ \(E\) kẻ đường vuông góc đến \(DC\), \(M\) tạo thành một góc thẳng.
2. Vì \(AN\) vuông góc với \(DF\) và góc hợp tạo thành từ các góc vuông, nên đồng thời điều kiện vuông góc biểu hiện qua hai đường thẳng dẫn đến \(N\).
3. Kết hợp các hướng và độ dài \(BD, DI\), với \(DF\) đồng nhất chính xác đến \(B, D, I\).

Kết luận: Theo các mối quan hệ giữa các góc và các đoạn thẳng, ta có thể chứng minh rằng \(B, D, I\) thẳng hàng qua điều kiện vuông góc và tỷ lệ phân chia.

Đây là hướng giải tổng quát cho bài toán. Hy vọng các bước và lý thuyết lồng ghép ở trên có thể giúp cho bạn trong thời gian ngắn gọn. Chúc bạn học tốt!