Để chứng minh rằng \( p + 1 \) chia hết cho 6, ta sẽ bắt đầu bằng cách xem xét một số tính chất của số nguyên tố \( p \) và \( p + 2 \).

1. **Tính chất số chẵn và số lẻ**:
Tất cả các số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ. Vậy \( p \) là số lẻ, tức là \( p = 2k + 1 \) với \( k \) là một số nguyên.

2. **Xét mod 3**:
Chúng ta sẽ xét \( p \) theo các trường hợp mod 3.
- Nếu \( p \equiv 0 \mod 3 \), thì \( p \) sẽ không phải là nguyên tố vì 3 là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cho 3.
- Nếu \( p \equiv 1 \mod 3 \), khi đó \( p + 2 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3 \). Điều này có nghĩa là \( p + 2 \) không phải là số nguyên tố, vì nó lớn hơn 3 và là số chia hết cho 3.
- Nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \), thì \( p + 2 \equiv 4 \equiv 1 \mod 3 \). Như vậy, \( p + 2 \) có khả năng là số nguyên tố.

Từ các trường hợp trên, chúng ta thấy rằng \( p \) chỉ có thể là số nguyên tố nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \).

3. **Kiểm tra tính chất chia hết cho 2 và 3**:
- \( p \) là số lẻ, vì vậy \( p \equiv 1 \mod 2 \).
- Chúng ta đã xác định được rằng \( p \equiv 2 \mod 3 \).

4. **Tính \( p + 1 \)**:
Bây giờ chúng ta tính \( p + 1 \):
\[
p + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 0 \mod 2
\]
\[
p + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Vì \( p + 1 \) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, nên theo quy tắc bội chung nhỏ nhất, \( p + 1 \) chia hết cho 6.

**Kết luận**: Ta đã chứng minh được rằng nếu \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3 và \( p + 2 \) cũng là số nguyên tố, thì \( p + 1 \) chia hết cho 6.