Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách có hệ thống.

### a) Chứng minh tứ giác MNCP là hình bình hành

1. Gọi các điểm A, B, C, D có tọa độ là:
- A(0, 0)
- B(2a, 0)
- C(2a, b)
- D(0, b)

(Trong đó \( AB = 2AD \) và \( AD = b \))

2. Tìm tọa độ các điểm M, N, P:
- M: trung điểm của AH, với A(0, 0) và H(2a, b), nên M có tọa độ:
\[
M = \left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = (a, \frac{b}{2})
\]
- N: trung điểm của BH, với B(2a, 0) và H(2a, b), nên N có tọa độ:
\[
N = \left( \frac{2a + 2a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = (2a, \frac{b}{2})
\]
- P: trung điểm của CD, với C(2a, b) và D(0, b), nên P có tọa độ:
\[
P = \left( \frac{2a + 0}{2}, b \right) = (a, b)
\]

3. Để chứng minh MNCP là hình bình hành, ta cần chứng minh:
- \( MN \parallel CP \) và \( MP \parallel NC \)

- Vector \( \overrightarrow{MN} = N - M = (2a - a, \frac{b}{2} - \frac{b}{2}) = (a, 0) \)
- Vector \( \overrightarrow{CP} = P - C = (a - 2a, b - b) = (-a, 0) \)

Ta thấy \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{CP} \) là hai vector song song (cùng hướng).

- Vector \( \overrightarrow{MP} = P - M = (a - a, b - \frac{b}{2}) = (0, \frac{b}{2}) \)
- Vector \( \overrightarrow{NC} = C - N = (2a - 2a, b - \frac{b}{2}) = (0, \frac{b}{2}) \)

Tương tự, ta thấy \( \overrightarrow{MP} \) và \( \overrightarrow{NC} \) cũng song song.

Vậy MNCP là hình bình hành.

### b) Chứng minh MP vuông góc MB

1. Vector \( \overrightarrow{MB} = B - M = (2a - a, 0 - \frac{b}{2}) = (a, -\frac{b}{2}) \)
2. Vector \( \overrightarrow{MP} = P - M = (0, b - \frac{b}{2}) = (0, \frac{b}{2}) \)

3. Tích vô hướng giữa hai vector:
\[
\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MP} = a \cdot 0 + \left(-\frac{b}{2}\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) = -\frac{ab}{4}
\]
Vậy \( MP \perp MB \).

### c) Gọi I là trung điểm của BP và J là giao điểm của MC và NP. Chứng minh rằng \( MI < JP \)

1. Tọa độ điểm I (trung điểm BP):
\[
B(2a, 0) \text{ và } P(a, b) \Rightarrow I = \left( \frac{2a + a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( \frac{3a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]

2. Tọa độ điểm J (giao điểm MC và NP):
- Phương trình đường thẳng MC và NP có thể tìm ra bằng cách sử dụng hệ số góc giữa các đoạn.

3. So sánh độ dài \( MI \) và \( JP \) thông qua tọa độ sẽ cho biết đâu là lớn hơn.

Kết thúc với kết quả, ta sẽ hoàn tất bài toán này.