Chúng ta sẽ thực hiện các bước chứng minh cho các yêu cầu của bài toán.

**a) Chứng minh DA = DH:**

Xét tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là góc vuông. Ta có \( BD \) là đường phân giác, nghĩa là \( \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC} \).

Khi kẻ \( DH \) vuông góc với \( BC \), ta thấy rằng \( DH \) là chiều cao từ \( D \) xuống \( BC \).

Xét 2 tam giác \( ABD \) và \( ACD \):

- Cả hai tam giác đều có chung cạnh \( AD \).
- Góc \( A \) là góc vuông.
- \( BD = DC \) theo định nghĩa của đường phân giác.

Do đó, theo định lý cạnh huyền, ta có \( DA = DH \).

**b) So sánh AD và DC:**

Ta có:

- Vì \( BD \) là đường phân giác nên \( \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC} \).
- Trong tam giác vuông \( ABC \), chúng ta cũng có \( AB > AC \) (nếu \( D \) không nằm trên \( AC \)).

Từ đây, có thể suy ra rằng \( AD > DC \) nếu \( D \) nằm trên đường phân giác trong tam giác vuông.

**c) Chứng minh tam giác \( DHC \cong tam giác DAE \):**

Xét hai tam giác \( DHC \) và \( DAE \):

- Cạnh \( DH = DA \) (đã chứng minh ở trên).
- Cạnh \( DC = DE \) (căn cứ vào tính chất đường phân giác trong tam giác).
- Góc \( HDC = ADB \) (góc chung, do \( D \) là điểm trong tam giác và \( DH \) vuông góc với \( BC \)).

Do đó, ta có hai tam giác \( DHC \cong DAE \) theo tiêu chí cạnh - cạnh - góc (CCG).

**d) chứng minh DE = DC và tam giác BEC cân tại B:**

Từ ta đã biết rằng \( BD \) là đường phân giác, vì vậy:

- Ta có \( \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC} \), từ đó suy ra \( DE = DC \).
- Về tam giác \( BEC \), ta có \( BE = BC \) và \( CE = BC \).
- Hơn nữa, \( BE = CE \) cho thấy tam giác cân tại \( B \).

Kết luận cho những yêu cầu của bài toán, chúng ta đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu mà bài toán đưa ra.