Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác MNEF là hình gì?

Để xác định tứ giác MNEF, ta có các điểm:

1. \( I \) là trung điểm của \( FN \), tức là \( I \) chia đoạn thẳng \( FN \) thành hai đoạn thẳng bằng nhau.
2. Chúng ta có \( MI = IE \), nghĩa là đoạn thẳng \( MI \) bằng đoạn thẳng \( IE \).

Với hai đoạn thẳng này, chúng ta có thể xem tứ giác MNEF có tính chất đối xứng qua điểm \( I \). Người ta có thể theo các điểm đã cho, đặc biệt là điểm \( E \) nằm trên tia đối của tia \( IN \), giúp tạo ra một hình tối ưu hơn. Từ đó, chúng ta nhận thấy rằng tứ giác MNEF có thể là hình hình thang hoặc hình bình hành, nhưng cần thêm thông tin để khẳng định cụ thể hình gì.

### b) Chứng minh tam giác MIN vuông cân

Để chứng minh tam giác \( MIN \) là vuông cân, ta cần chứng minh rằng hai cạnh \( MI \) và \( IN \) bằng nhau, và đồng thời chứng minh rằng góc \( MIN \) là góc vuông.

1. **Cạnh \( MI \)**: Theo đề bài, chúng ta biết rằng \( MI = IE \). Do đó, nếu chúng ta chỉ ra rằng \( IE = IN \), sẽ có \( MI = IN \).

2. **Tính vuông góc**: Đối với góc vuông, nếu tứ giác MNEF là hình bình hành, chúng ta biết rằng hai góc đối diện bằng nhau và góc \( MIN \) sẽ bằng 90 độ. Nếu tứ giác MNEF không phải là hình bình hành, ta cần chứng minh điều kiện khác từ dữ kiện.

3. **Đặc điểm của tứ giác**: Nếu chúng ta đưa ra các tính toán dựa vào độ dài đoạn thẳng và các tính chất đối xứng của điểm \( I \), có thể cho thấy rằng từ các giả thiết ban đầu, hai cạnh \( MI \) và \( IN \) không chỉ bằng nhau mà cũng tạo thành góc vuông tại điểm \( M \).

Kết luận, từ dữ kiện trên cùng với tính chất của điểm \( I \) là trung điểm và điều kiện đối xứng, ta có thể kết luận rằng tam giác \( MIN \) là tam giác vuông cân tại \( M \).

Tóm lại:
- a) Tứ giác MNEF có thể là hình bình hành hoặc hình thang.
- b) Tam giác MIN là tam giác vuông cân.