a) 2xy4x4y2\frac{2xy}{4x^4y^2}4x4y22xy​

Để rút gọn phân thức, ta tìm các yếu tố chung ở tử số và mẫu số:

2xy4x4y2=24⋅xx4⋅yy2\frac{2xy}{4x^4y^2} = \frac{2}{4} \cdot \frac{x}{x^4} \cdot \frac{y}{y^2}4x4y22xy​=42​⋅x4x​⋅y2y​

Rút gọn các hệ số và biến:

24=12,xx4=1x3,yy2=1y\frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{x}{x^4} = \frac{1}{x^3}, \quad \frac{y}{y^2} = \frac{1}{y}42​=21​,x4x​=x31​,y2y​=y1​

Vậy phân thức rút gọn là:

12x3y\frac{1}{2x^3y}2x3y1​

b) x3+2xx2+2\frac{x^3 + 2x}{x^2 + 2}x2+2x3+2x​

Ở đây, ta không thể rút gọn thêm vì không có yếu tố chung giữa tử và mẫu. Do đó, phân thức này đã ở dạng đơn giản nhất.

Bài 2: Thực hiện phép tính

a) (x+1)2−x2−2x(x + 1)^2 - x^2 - 2x(x+1)2−x2−2x

Ta sẽ thực hiện khai triển và rút gọn biểu thức:

(x+1)2=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1(x+1)2=x2+2x+1

Do đó, ta có:

(x+1)2−x2−2x=x2+2x+1−x2−2x(x + 1)^2 - x^2 - 2x = x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x(x+1)2−x2−2x=x2+2x+1−x2−2x

Rút gọn:

x2−x2+2x−2x+1=1x^2 - x^2 + 2x - 2x + 1 = 1x2−x2+2x−2x+1=1

Vậy kết quả là: 1\boxed{1}1​.

b) x2+4xx+4\frac{x^2 + 4x}{x + 4}x+4x2+4x​

Ta có thể phân tích tử số:

x2+4x=x(x+4)x^2 + 4x = x(x + 4)x2+4x=x(x+4)

Do đó, biểu thức trở thành:

x(x+4)x+4\frac{x(x + 4)}{x + 4}x+4x(x+4)​

Nếu x+4≠0x + 4 \neq 0x+4=0, ta có thể rút gọn:

xxx

Vậy kết quả là: x\boxed{x}x​.

c) 4x+2−3x−2+12x2−41\frac{4x + 2 - 3x - 2 + 12x^2 - 4}{1}14x+2−3x−2+12x2−4​

Ta sẽ rút gọn biểu thức trong tử số:

4x+2−3x−2+12x2−4=12x2+x−44x + 2 - 3x - 2 + 12x^2 - 4 = 12x^2 + x - 44x+2−3x−2+12x2−4=12x2+x−4

Vậy kết quả là:

12x2+x−412x^2 + x - 412x2+x−4

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2−6xy+9y2x^2 - 6xy + 9y^2x2−6xy+9y2

Biểu thức này có dạng của một bình phương của một nhị thức:

x2−6xy+9y2=(x−3y)2x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2x2−6xy+9y2=(x−3y)2

Vậy phân tích thành nhân tử là:

(x−3y)2(x - 3y)^2(x−3y)2

b) x2−9y2x^2 - 9y^2x2−9y2

Đây là một biểu thức có dạng của hiệu hai bình phương:

x2−9y2=(x−3y)(x+3y)x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y)x2−9y2=(x−3y)(x+3y)

Vậy phân tích thành nhân tử là:

(x−3y)(x+3y)(x - 3y)(x + 3y)(x−3y)(x+3y)

c) 4x−4−x24x - 4 - x^24x−4−x2

Ta viết lại theo dạng chuẩn của đa thức:

4x−4−x2=−x2+4x−44x - 4 - x^2 = -x^2 + 4x - 44x−4−x2=−x2+4x−4

Ta có thể nhóm các hạng tử và phân tích:

−x2+4x−4=−(x2−4x+4)-x^2 + 4x - 4 = -(x^2 - 4x + 4)−x2+4x−4=−(x2−4x+4)

Biểu thức trong dấu ngoặc là một bình phương hoàn chỉnh:

x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2x2−4x+4=(x−2)2

Vậy phân tích thành nhân tử là:

−(x−2)2-(x - 2)^2−(x−2)2

Tóm tắt kết quả:

• Bài 1: a) 12x3y\frac{1}{2x^3y}2x3y1​; b) x3+2xx2+2\frac{x^3 + 2x}{x^2 + 2}x2+2x3+2x​
• Bài 2: a) 111; b) xxx; c) 12x2+x−412x^2 + x - 412x2+x−4
• Bài 3: a) (x−3y)2(x - 3y)^2(x−3y)2; b) (x−3y)(x+3y)(x - 3y)(x + 3y)(x−3y)(x+3y); c) −(x−2)2-(x - 2)^2−(x−2)2